Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Wolfgang Krull:

Um die Polynominvarianten matrizentheoretisch zu deuten, haben
wir den Begriff des zusammengesetzten, sowie den des Einzel-
elementarteilers einzuführen. Es sei A eine beliebige, E die Ein-
heitsmatrix, (a?) bedeute den (normierten) größten gemeinschaftlichen
Teiler aller Unterdeterminanten «^Grades von x • E— A, d0(x) möge
gleich 1 gesetzt werden. Dann wird das Polynom (x) = (F) :
(x) als i^L zusammengesetzter Elementarteiler von A bezeichnet;
die Einzelelementarteiler (oder kurz E. T.) erhält man, indem man die
6i(x) in solche teilerfremde, normierte Faktoren zerlegt, die Potenzen
irreduzibler Polynome darstellen.
Aus einfachen Determinantensätzen ergibt sich in üblicher Weise,
daß ähnliche Matrizen gleiche E. T. besitzen, und durch Nachrechnen
an der in Satz 20 angegebenen Normalform erkennt man die Richtig-
keit des „Fundamentalsatzes der E. T. Theorie“:
Satz 22. Die E. T. einer Klasse ähnlicher Matrizen sind
gleich den Polynominvarianten der zugehörigen Gruppe.
Zwei Matrizen sind dann und nur dann ähnlich, wenn sie
in ihren E. T. übereinstimmen. Es gibt stets Matrizen mit
vorgeschriebenen E. T.
Für den höchsten zusammengesetzten E. T. findet man folgende
Deutung:
Satz 23. Der höchste zusammengesetzte E. T. der Ma-
trix A, en (x), ist gleich der Ordnung der zugehörigen
E. T. G.-ew(#) kann mithin definiert werden als Polynom
niedrigsten Grades, für das die Matrizengleichung
(M) = 0 gilt.
Der erste Teil von Satz 23 ergibt sich durch Nachrechnen an der
Normalform auF Grund der Überlegung, daß die Ordnung von A -
((Z^ Z2, . . . Zm)) gleich dem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen
der Ordnungen der Z^ ist. Um den letzten Teil der Behauptung ein-
zusehen, bezeichne man mit (a) diejenige Basis von A, für die (0 • a)
— A • (et) ist. Dann erkennt man ohne weiteres, daß die Matrizen-
gleichung f (A) = 0 äquivalent ist mit dem Gleichungssystem (/"(©)• a)
= (0), d. h. /'(0)-a=O für beliebiges a aus A.
gezeigt ist, daß bei der von ihm benutzten Normalform wirklich die größten
aufeinanderfolgenden vorderen v. red. Bestandteile hervorgehobeu sind. In D.
§ 4 hatte ich diese Lücke durch eine Rechnung überbrückt, an deren Stelle
bei der vorliegenden gruppentheoretischen Behandlung die Benutzung von
Satz 8 tritt.