Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Theorie und Anwendung der verallgemeinerten Abelschen Gruppen. 29
§9.
Weitere Sätze über E. T. G. und Matrizen.
Es sei wie oben A eine E. T. G., deren Operatorenbereich durch
die Polynome in 0 gebildet wird. Dann bezeichnen wir mit /'(©)• A
diejenige Untergruppe, die aus der Gesamtheit aller Elemente von der
Form f (&) • a besteht. Ist A — (tZv Z2, ... Zm)) so ist ersichtlich
f (0) • A ((/»(0) • f (0) • Z2,.. . f (&) ■ Zm)). Bedeutet g (rc) ein
irreduzibles Polynom vom Grade s, das in f (x) genau irr der tt(A Potenz
aufgeht, und stellt Z die zyklische Gruppe der Ordnung g (x)r dar,
so besitzt ersichtlich /(0) • Z die Ordnung g (x~) max <°> r~0 und den
Bang s • max (0, r—t\ Für den Bang der Gruppe /*(0) • A ergibt
sich daraus allgemein:
Satz 24. Es sei A eine E. T. G. mit den Polynominvari-
anten gr (Ff1, g2 (Ff2, • • • gm (%ym, wobei gi tx) ein irreduzibles
Polynom vom Grade bedeutet, und es sei f (x) durch gi(x)
genau in der Potenz teilbar. Dann ist die Ordnung
von f(&)-A gleich dem kl einsten gern ein sc haft lieh en Viel-
fachen der Polynome gt (x) max ri-k), während der Bang
durch ZSi • max (0, gegeben ist.
Mit Hilfe von Satz 23 kann man die Polynominvarianten von A
berechnen, wenn die Bangzahlen von f(0) • A für beliebiges f(0)
bekannt sind.1) Man hat daher:
Satz 25. Zwei E, T. G. Ax und A2 sind dann und nur
dann isomorph, wenn f (0) ■ Ar und f (0) • A2 stets gleichen
Bang besitzen.
Zwei Matrizen At und A2 sind dann und nur dann
ähnlich, wenn der Bang von f (A^) stets gleich dem von
f (A) -ist-
Was die matrizentheoretische Fassung des Satzes angeht, so sei
A eine beliebige Matrix, (a) die zu A gehörige Basis der durch A be-
l) Zur Durchführung dieser Rechnung, bei der die assoziierten Zahlensysteme
auftreten, vgl. Hensel: „Theorie der Körper von Matrizen; J.f. Math. 127 (1904)
p. 116 — 166; Frobenius: „Über den Rang einer Matrix. Sitz.-Ber. d. Berliner
Akad. d. Wissenschaften 1911 p. 20—29; D. § 5. Bei Hensel und Frobenius dient
die Untersuchung des Ranges der Matrix /‘(Zl) (übrigens unter der Voraussetzung,
daß der Koeffizientenkörper algebraisch abgeschlossen ist), als Ausgangspunkt
für die Entwicklung der E. T. Theorie. In D. wird (bei beliebigem Koeffizienten-
körper R) im wesentlichen derselbe Beweisgang wie hier eingehalten. Nur treten
an Stelle der gruppentheoretischen Überlegungen mitunter umständliche Matrizen-
rechnungen.