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https://doi.org/10.11588/diglit.43397#0030
30
Wolfgang Krull:
stimmten Gruppe M. Dann ist (/’(©)• a) = f (A) • (a) eine Basis von
f (0) • A, und daraus folgt, daß der Rang von /(0) • A gleich dem
von f (A) ist.
Es seien noch einige weitere Sätze über Untergruppen von E. T. G.
samt ihren raatrizentheoretischen Anwendungen angeführt.
Satz 26. Ist B (B) eine Untergruppe (Restklassen-
gruppe) von A, so ist die Polynominvariantenanzahl
von B (R) höchstens gleich der entsprechenden von A,
und es gibt zu jeder Polynominvariante f (%) von B (JB)
eine durch f(a?) teilbare Polynominvariante von A.
Ist A = i so isl die El em ent ar teil er an zahl von
Mx (Z2) höchstens gleich der entsprechenden von A und
zu jedem E. T. e(x) von AL (Z2) gibt es einen durch e (x)
teilbaren E. T. von A.
Es sei Ba, Bb (Ba, Rö) die erste LoEWYsche Untergruppe (Rest-
klassengruppe) von A bzw. B. Danu ist, wie aus den Sätzen 8 und 17
folgt, die Anzahl der unzerlegbaren Summanden von A bzw. B gleich
der Anzahl der irreduzibeln Summanden von Ba bzw. Bb (Ba, bzw.
Rö). Nun besitzt aber Bb(Bb} sicher nicht mehr irreduzible Kompo-
nenten als Ba{Bn'), weil ja -Bb^Bb) eine Untergruppe (Restklassen-
gruppe) der v. red. Gruppe B.a{B^ darstellt. Die zweite Behauptung
von Satz 26 folgt aus der Tatsache, daß einerseits die Ordnung einer
Gruppe gleich dem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen der Poly-
nominvarianten, andrerseits die Ordnung einer Untergruppe Teiler der
Ordnung der Obergruppe ist. Die Übersetzung der Resultate in die
Matrizentheorie ergibt sich aus dem am Schlüsse von § 6 dargelegten
Zusammenhang.
Zum Beweis eines weiteren Untergruppensatzes braucht man fol-
genden Hilfssatz:
Ist V eine v. red. Untergruppe von A, so kann man für
Meine derartige Zerlegung M = ((Zx, Z2...ZOT)) in unzerleg-
bare Summanden finden, daß V == ((ZXT, Z2ü)... Zfc(1))) (ß <((m)
wird, falls Z/1) die irreduzible Untergruppe von Z^ be-
deutet (« = 1, 2 .. . m).
Es sei P= (cd1)) eine irreduzible Untergruppe von V, A = ((Z/,
Z2,... ZOT'))- Dann kann man die Numerierung der Z/ so wählen,
daß cd1) = et/1)' + a2(1)z + ... ct/1)Z wird, falls et/1*' eine passende Basis
der irreduziblen Untergruppe Z/1)' von Z/ darstellt, und daß außer-
dem die Ordnung von nicht größer ist als die Ordnungen von
Z2', Z3'... Z/. Unter diesen Umständen besitzt die Ordnung von
Wolfgang Krull:
stimmten Gruppe M. Dann ist (/’(©)• a) = f (A) • (a) eine Basis von
f (0) • A, und daraus folgt, daß der Rang von /(0) • A gleich dem
von f (A) ist.
Es seien noch einige weitere Sätze über Untergruppen von E. T. G.
samt ihren raatrizentheoretischen Anwendungen angeführt.
Satz 26. Ist B (B) eine Untergruppe (Restklassen-
gruppe) von A, so ist die Polynominvariantenanzahl
von B (R) höchstens gleich der entsprechenden von A,
und es gibt zu jeder Polynominvariante f (%) von B (JB)
eine durch f(a?) teilbare Polynominvariante von A.
Ist A = i so isl die El em ent ar teil er an zahl von
Mx (Z2) höchstens gleich der entsprechenden von A und
zu jedem E. T. e(x) von AL (Z2) gibt es einen durch e (x)
teilbaren E. T. von A.
Es sei Ba, Bb (Ba, Rö) die erste LoEWYsche Untergruppe (Rest-
klassengruppe) von A bzw. B. Danu ist, wie aus den Sätzen 8 und 17
folgt, die Anzahl der unzerlegbaren Summanden von A bzw. B gleich
der Anzahl der irreduzibeln Summanden von Ba bzw. Bb (Ba, bzw.
Rö). Nun besitzt aber Bb(Bb} sicher nicht mehr irreduzible Kompo-
nenten als Ba{Bn'), weil ja -Bb^Bb) eine Untergruppe (Restklassen-
gruppe) der v. red. Gruppe B.a{B^ darstellt. Die zweite Behauptung
von Satz 26 folgt aus der Tatsache, daß einerseits die Ordnung einer
Gruppe gleich dem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen der Poly-
nominvarianten, andrerseits die Ordnung einer Untergruppe Teiler der
Ordnung der Obergruppe ist. Die Übersetzung der Resultate in die
Matrizentheorie ergibt sich aus dem am Schlüsse von § 6 dargelegten
Zusammenhang.
Zum Beweis eines weiteren Untergruppensatzes braucht man fol-
genden Hilfssatz:
Ist V eine v. red. Untergruppe von A, so kann man für
Meine derartige Zerlegung M = ((Zx, Z2...ZOT)) in unzerleg-
bare Summanden finden, daß V == ((ZXT, Z2ü)... Zfc(1))) (ß <((m)
wird, falls Z/1) die irreduzible Untergruppe von Z^ be-
deutet (« = 1, 2 .. . m).
Es sei P= (cd1)) eine irreduzible Untergruppe von V, A = ((Z/,
Z2,... ZOT'))- Dann kann man die Numerierung der Z/ so wählen,
daß cd1) = et/1)' + a2(1)z + ... ct/1)Z wird, falls et/1*' eine passende Basis
der irreduziblen Untergruppe Z/1)' von Z/ darstellt, und daß außer-
dem die Ordnung von nicht größer ist als die Ordnungen von
Z2', Z3'... Z/. Unter diesen Umständen besitzt die Ordnung von