Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Theorie und Anwendung der verallgemeinerten Abelschen Gruppen. 31
Zf (7 = 1, 2 ... Z) die Gestalt gp]ri wobei g(x) ein festes irreduzibles
Polynom bedeutet und r2 ]> rx, r3 ]> rlf ...r^iy ist; man kann daher ein
erzeugendes Element a( aus z?/ so wählen, daß • ai = apY
wird. Setzt man dann ax — ay ß- ^(0)r2~ri • a2' -j- ... g(&)ri ri • et/, so ist
Zx = (ctx) eine unzerlegbare zyklische Gruppe mit der irreduzibeln Unter-
gruppe P, und es gilt die Gleichung A = ((Zx, Z2', ... ZOT')).
Als v. red. Gruppe ist weiterhin V eine Untergruppe der ersten
LoEWYschen Untergruppe von A, d. h. von ((P, Z2(1)/... ZTO(1)/)ß UQd
daraus folgt die Zerlegung V = ((P, [V, ((Z2', ... Zw'))])); indem man
nun auf die v. red. Untergruppe |V, ((Z2', . . . ZTO'))] von ((Z2', .. . Z,/))
dieselbe Schlußweise anwendet wie oben auf V, gelangt man schritt-
weise zum Beweise des Hilfssatzes.
Überlegt man sich auf Grund des Hilfssatzes, welche Möglich-
keiten für die Polvnominvarianten von A/V vorliegen, falls V eine
v. red. Untergruppe von A ist, und die Polynominvarianten von
A und V bekannt sind, so erkennt man die Richtigkeit folgender
Behauptung:
Satz 27. Kommt das irreduzible Polynom p(A) unter den
Invarianten der v. red. Gruppe V genau (-mal vor, und
sind g(x)ry g(P)r2, ... g(x)rs die durch g(x) teilbaren Polynom-
invarianten von A/V, so gehören zu A s-\-n durch </(rr) teil-
bare Polynominvarianten nämlich n mal das
Polynom g(P), und außerdem ... p(x/)rs', wobei r/
genau t — n mal gleich und s-]-n — t mal gleich
Es sei A = \ß1^>„ , und es besitze die Matrix.Ax als E. T.
lauter irreduzible Polynome, darunter t mal das Polynom
g(P), während die durch g(P) teilbaren E. T. von A2 durch
g(x)ri, g(x)r-2. ...g(x)rs gegeben sind. Dann gehören zur Matrix
A insgesamt s-\-n durch g(x) teilbare E. T., nämlich n mal
das Polynom g(P) uncl außerdem p(A)rig(P'p-', • • • g(P)rswobei r /
genau t — n mal gleich und s-\-n — t mal gleich ry.1)
Die Sätze 24—27 ergeben sich sämtlich bei Spezialuntersuchungen
zu dem allgemeinen Problem, einen Überblick über sämtliche Untcr-
’) Ein Spezialfall dieses Satzes ist von wesentlicher Bedeutung für die
Arbeit: Stenzel: „Über die Darstellbarkeit einer Matrix usw.“ Math. Zeit-
schrift 16 (1923) p. 1—25. Der dort gegebene rechnerische Beweis ist etwas
umständlich. Kürzer, aber gleichfalls nicht so einfach wie bei Benutzung
der Gruppentheorie, kann der Satz auf Grund gewisser Untersuchungen von D.,
die dort dem Beweise des Theorems über die größten aufeinanderfolgenden
v. red. Bestandteile einer Matrix dienen, hergeleitet werden.