Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Oberfläche von Flächenstücken.

9

1
2

y

3

1
“2

du , , dv v
x,Xu~ds + Xvds,X
. du , , dv
V’^-ds+^’ds^
. du , , dv „
z’^Ts+’”ls’Z

dx X

dy Y
d3 Z

= Ix cos (y, x) -f-Iy cos (v, ?/)
+_Z2!cos(r,£);

dabei bedeutet Ix den Inhalt der Projektion des durch die Punkte
(0, 0, 0), (x, y, 3) und (x + dx, y + dy, 3 + bestimmten Dreiecks
auf die Ebene x = 0, Iy den Inhalt der Projektion desselben Dreiecks
auf die Ebene y = 0, Iz den Inhalt der Projektion auf die Ebene 3 = 0
und v die Flächennormale im Punkt (x, y, 3); bezeichnet man den
Inhalt dieses Dreiecks mit df, die Normale seiner Ebene mit v', den
Neigungswinkel dieser Ebene gegen die Tangentialebene im Punkt
(x, y, 3) mit m = (y, v')> so ergibt sich für das Integrationselement des
Kanclintegrales also
Za, cos (y, x) + Iy cos (y, y) + Iz cos (y, 3)
= Zf [cos (y’, x) cos (y, x") + cos (yf, y) cos (y, y) + cos (y', 3) cos (y, #)]
= df cos m.
Das Integrationselement des Doppelintegrales läßt sich folgender-
maßen schreiben:

y y'u y’v
3 3 u 3 d

du dv = H\xXYy T+ z ZyV EG — F2 du dv;

es ist also gleich dem Produkt aus dem arithmetischen Mittel der
Hauptkrümmungen der Fläche im Punkt (x, ?/, 3), dem zu diesem
Punkt gehörigen Flächenelement und dem Abstand der Tangentialebene
in diesem Punkt vom Koordinatenursprung.

§3.
Herleitung der Formel (B).

Es ist für zwei beliebige, in 55 + zweimal stetig differentiierbare
Funktionen 97(w,t’) und fj(u,v) und ein beliebiges Parametersystem
(13) ff^(<p,vyixrxF2dudv=f
(S) (3f)
—f f D (<p) du dv.x)
(®)

T) Vgl. etwa W. Blaschke, a. a. O. §§ 67, 68.