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https://doi.org/10.11588/diglit.43528#0017
Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisschen Theorie.
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(O Ni Pj = Pu ((<^1 P„ (a2)P;, ..(uz) Py),
( (a2) &aPy = R2i((öl) Py, (a2)Py,..(uz) Py),
fo) &a Ni Py — Rti ([aJPj, (u2) P/> • • •; (<*z) Py).
Auf das Gleichungssystem (7), das auch nur Relationen zwischen
oL. o2, . .qJc mit Koeffizienten aus P enthält, führe man die Trans-
mutation Py-1 aus, die wegen der Gruppeneigenschaft von zu S
gehört; dann erhält man unter Beachtung von (4):
(<b.) S« Ni Py Pf1 = (oj Ni,
^^aNiP^aPr^^^aNi,
^^aNiPj^aPr1 = ^aNi.
Auch die Gleichungen (8) lassen sich als Gleichungen zwischen
o1, o2, . .., qJ: mit Koeffizienten aus P auffassen und gestatten daher
die Transmutation Af1, die wegen des' Gruppencharakters von 31 zu
g gehört. Beachtet man noch, daß tf, o2, . .., durch ungeändert
bleiben, so erhält man aus (8):
K) Ni Py S« Pf 1 Af 1 = öl, (o2) Ni Py Pfl Af * = a2, ..
^NiP^P^Nr^ai.
Da aber die l Funktionen olt g2, .. zu gehören, also bloß bei
den Transmutationen von S ihren Wert nicht verändern, muß
Ni Py Pf1 Nf1 = (&a seiu, d. h. AyPy ist mit S({ vertauschbar, ■ ge-
hört also dem Normalisator 31 an; folglich trifft dies auch für Py als
Produkt der zwei Elemente Af1 und Ay Py aus 31 zu. Hieraus
schließen wir: Außer den Transmutationen von Aa kann es in dem
Transmutationssystem 2: (f g^p. (^) 6.2», P, i 6. Ä, P,)
nur noch automorphe Transmutationen geben, wenn die Py nicht in
der maximalen automorphen Untergruppe von @ gelegen sind.
Gibt es aber in N keine weiteren automorphen Transmutationen als
die in Aa befindlichen, so ist Na als maximale automorphe Untergruppe
von A dessen Kern und 311 ^>a ist isomorph zu dem Kern von A,
das heißt A1 und j© sind isomorph, nicht hyperisomorph. Wir
formulieren demnach als Ergänzung zu Satz 1 den
Satz la. Ist für die Transmutationen Py, die nicht der
maximalen automorphen Untergruppe von S ange-
hören, keine der aus ihnen hergeleiteten Transmutationen
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(O Ni Pj = Pu ((<^1 P„ (a2)P;, ..(uz) Py),
( (a2) &aPy = R2i((öl) Py, (a2)Py,..(uz) Py),
fo) &a Ni Py — Rti ([aJPj, (u2) P/> • • •; (<*z) Py).
Auf das Gleichungssystem (7), das auch nur Relationen zwischen
oL. o2, . .qJc mit Koeffizienten aus P enthält, führe man die Trans-
mutation Py-1 aus, die wegen der Gruppeneigenschaft von zu S
gehört; dann erhält man unter Beachtung von (4):
(<b.) S« Ni Py Pf1 = (oj Ni,
^^aNiP^aPr^^^aNi,
^^aNiPj^aPr1 = ^aNi.
Auch die Gleichungen (8) lassen sich als Gleichungen zwischen
o1, o2, . .., qJ: mit Koeffizienten aus P auffassen und gestatten daher
die Transmutation Af1, die wegen des' Gruppencharakters von 31 zu
g gehört. Beachtet man noch, daß tf, o2, . .., durch ungeändert
bleiben, so erhält man aus (8):
K) Ni Py S« Pf 1 Af 1 = öl, (o2) Ni Py Pfl Af * = a2, ..
^NiP^P^Nr^ai.
Da aber die l Funktionen olt g2, .. zu gehören, also bloß bei
den Transmutationen von S ihren Wert nicht verändern, muß
Ni Py Pf1 Nf1 = (&a seiu, d. h. AyPy ist mit S({ vertauschbar, ■ ge-
hört also dem Normalisator 31 an; folglich trifft dies auch für Py als
Produkt der zwei Elemente Af1 und Ay Py aus 31 zu. Hieraus
schließen wir: Außer den Transmutationen von Aa kann es in dem
Transmutationssystem 2: (f g^p. (^) 6.2», P, i 6. Ä, P,)
nur noch automorphe Transmutationen geben, wenn die Py nicht in
der maximalen automorphen Untergruppe von @ gelegen sind.
Gibt es aber in N keine weiteren automorphen Transmutationen als
die in Aa befindlichen, so ist Na als maximale automorphe Untergruppe
von A dessen Kern und 311 ^>a ist isomorph zu dem Kern von A,
das heißt A1 und j© sind isomorph, nicht hyperisomorph. Wir
formulieren demnach als Ergänzung zu Satz 1 den
Satz la. Ist für die Transmutationen Py, die nicht der
maximalen automorphen Untergruppe von S ange-
hören, keine der aus ihnen hergeleiteten Transmutationen
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