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https://doi.org/10.11588/diglit.43528#0019
Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisschen Theorie. H
Transmutationssystem 2 der Dirigenten gx, <j2, . . ol des
mit (P; 2v 22» Qk) übereinstimmenden Körpers (P; ga,g2,..., g^
isomorph zu S.
Das Transmutationssystem eines Körpers ist also,
wenn isomorphe Transmutationssysteme als nicht ver-
schieden gelten, unabhängig von der Wahl eines den Kör-
per erzeugenden Dirigentensystems.
Wir spezialisieren den letzten Satz für den Fall 7=1, wählen also
eine primitive Funktion oe o2, • • ■> Qk)- Alsdann wird das Trans-
mutationssystem 2" der Dirigente oe des Körpers (P; Op q2, . .ok)
von der Form (°e L wobei oei alle Wurzeln der irreduziblen Glei-
chung N(%) = 0 mit Koeffizienten aus P durchläuft, die durch oe be-
friedigt wird.
Für die identische Transmutation P = 1 2i 22 • • • 2z„- ;
\2i 22 • • • QkJ
ist der Normalisator 91 die maximale automorphe Untergruppe
von (5. Infolge des Isomorphismus von S und 2 ergibt sich dem-
nach aus Satz 1 und 2 der
Satz 3. S sei das Transmutationssystem der Dirigenten
£*i> • • •> Qk des Körpers (P; Qw • • 2/c) UQd besitze die
maximale automorphe Untergruppe die aus den
n Transmutationen JEV N2, N3, ..Nn bestehe, also = Px
+ W2 + W3 + ... +-Aw. Die GALOissche Zerlegung von S nach
laute:
<5 = + ©U'0 P2 + P3 + ... + Pp.
Jede primitive Funktion oe (@15 o2, . . (>%) des Körpers
(P; q2, .. qJc) genügt dann einer irreduziblen Gleichung
N(x) = 0 des Grades np mit Koeffizienten aus P, und die
Wurzeln dieser Gleichung zerfallen in p Gruppen von je
n Größen1):
eines Körpers. Auf die knapp gehaltenen Untersuchungen dieses großen Ma-
thematikers, die er bereits 1857 — 1858 in Göttingen vorgetragen hat (vgl. a. a. 0.
S. 484) und die H. Weber (vgl. Lehrbuch der Algebra, 2. Aufl., 1. Bd., S. VII,
Braunschweig 1898) kannte, ohne daß sie auf die Literatur Einfluß gehabt zu
haben scheinen, bin ich erst nachträglich aufmerksam geworden. Dedekinds
Resultate berühren sich, wenn man sie aus seiner Sprache und Auffassung über-
trägt, vielfach mit den meinigen in § 1 und 2; die Ableitung ist eine ver-
schiedenartige.
’) Dies ist die Spezialisierung der Gleichungen (4) und (5) für den Fall
Z=l. Die Einteilung der Wurzeln einer irreduziblen Gleichung in Gruppen
geht auf N. H. Abels Arbeit „Sur une Masse particuliere d’equations resolubles
Transmutationssystem 2 der Dirigenten gx, <j2, . . ol des
mit (P; 2v 22» Qk) übereinstimmenden Körpers (P; ga,g2,..., g^
isomorph zu S.
Das Transmutationssystem eines Körpers ist also,
wenn isomorphe Transmutationssysteme als nicht ver-
schieden gelten, unabhängig von der Wahl eines den Kör-
per erzeugenden Dirigentensystems.
Wir spezialisieren den letzten Satz für den Fall 7=1, wählen also
eine primitive Funktion oe o2, • • ■> Qk)- Alsdann wird das Trans-
mutationssystem 2" der Dirigente oe des Körpers (P; Op q2, . .ok)
von der Form (°e L wobei oei alle Wurzeln der irreduziblen Glei-
chung N(%) = 0 mit Koeffizienten aus P durchläuft, die durch oe be-
friedigt wird.
Für die identische Transmutation P = 1 2i 22 • • • 2z„- ;
\2i 22 • • • QkJ
ist der Normalisator 91 die maximale automorphe Untergruppe
von (5. Infolge des Isomorphismus von S und 2 ergibt sich dem-
nach aus Satz 1 und 2 der
Satz 3. S sei das Transmutationssystem der Dirigenten
£*i> • • •> Qk des Körpers (P; Qw • • 2/c) UQd besitze die
maximale automorphe Untergruppe die aus den
n Transmutationen JEV N2, N3, ..Nn bestehe, also = Px
+ W2 + W3 + ... +-Aw. Die GALOissche Zerlegung von S nach
laute:
<5 = + ©U'0 P2 + P3 + ... + Pp.
Jede primitive Funktion oe (@15 o2, . . (>%) des Körpers
(P; q2, .. qJc) genügt dann einer irreduziblen Gleichung
N(x) = 0 des Grades np mit Koeffizienten aus P, und die
Wurzeln dieser Gleichung zerfallen in p Gruppen von je
n Größen1):
eines Körpers. Auf die knapp gehaltenen Untersuchungen dieses großen Ma-
thematikers, die er bereits 1857 — 1858 in Göttingen vorgetragen hat (vgl. a. a. 0.
S. 484) und die H. Weber (vgl. Lehrbuch der Algebra, 2. Aufl., 1. Bd., S. VII,
Braunschweig 1898) kannte, ohne daß sie auf die Literatur Einfluß gehabt zu
haben scheinen, bin ich erst nachträglich aufmerksam geworden. Dedekinds
Resultate berühren sich, wenn man sie aus seiner Sprache und Auffassung über-
trägt, vielfach mit den meinigen in § 1 und 2; die Ableitung ist eine ver-
schiedenartige.
’) Dies ist die Spezialisierung der Gleichungen (4) und (5) für den Fall
Z=l. Die Einteilung der Wurzeln einer irreduziblen Gleichung in Gruppen
geht auf N. H. Abels Arbeit „Sur une Masse particuliere d’equations resolubles