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https://doi.org/10.11588/diglit.43528#0021
Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisschen Theorie. 13
haben wir in (10) genau dieselben Größen wie im System (9) vor uns;
nur haben die in der nämlichen Zeile stehenden Elemente, die jetzt
als rationale Funktionen irgendeiner Wurzel (o,)-Na, (og)VaP2, . .
(o,)NaPj; der Zeile dargestellt sind, eventuell ihre Reihenfolge ver-
tauscht.
Um noch zu zeigen, daß niemals eine V urzel irgendeiner Zeile
des Schemas (9) oder (10) rationale Funktion einer Wurzel aus einer
anderen Zeile sein kann, braucht man nur zu beachten, daß (ae)VaP£,
wenn P/ = ) ist, für den Körper (P; glif p2i, .. ., o^)
\91i @2i • ■ • Qki/
die gleiche Rolle als primitive Funktion wie (^15 p2, . . ., für den
Körper (P; £x, p2, . .., o7c) spielt. Maximale automorphe Untergruppe
von Pu1(5 ist Ry1 @fUMjP.-, wofür man wegen der Zugehörigkeit von
Na zur Gruppe auch Py1 2Vft_1Sa(’w)NöPi schreiben kann. Die
Elemente dieser Gruppe erzeugen aus (<je)NaP; die Wurzeln der i-ten
Zeile von (10), nämlich
(oe) N„P(, (c() A'„P( (Pj-1 N„^N2 Pi) -
= (o,)x3y p;,.... (o^yPi (P-iy-uv.y p;) = pä.
Für den Körper (P; gli, g2i, ..., wird die i-te Zeile des Schemas
(10) zur ersten, und wie sich im ursprünglichen Schema (10) keine
Wurzel, die nicht in der ersten Zeile steht, durch das erste Element (p^Na
ausdrücken läßt, kann auch keine Wurzel durch (o-QN^P^ rational aus-
gedrückt werden; es sei denn, daß sie mit (o^W^Pj in gleicher
Zeile steht.
Hat man irgendeine irreduzible Gleichung N(«) = 0 mit Koeffi-
zienten aus P und der Wurzel oe, so bestimmt für sie das Trans-
mutationssystem der Dirigente oe des Körpers (P; c>e) oder das Ver-
teilungsschema (9) der Wurzeln eine Zahl p, die man die Faltigkeit
der irreduziblen Gleichung; nennen könnte. Die Zahl p — -
° n
ist der Index oder der Quotient aus der Anzahl der Trans-
mutationen durch die Anzahl der automorphen Transmuta-
tionen oder gleich der Anzahl der nicht identischen, durch
die Gleichungswurzeln definierten Körper. Im Falle p=l,
wo die Wurzeln der Gleichung nur einen einzigen Körper definieren,
bezeichnet man die Gleichung als Normalgleichung oder Galois-
sche Gleichung.1)
9 Vgl. § 2 (I, S. 17).
haben wir in (10) genau dieselben Größen wie im System (9) vor uns;
nur haben die in der nämlichen Zeile stehenden Elemente, die jetzt
als rationale Funktionen irgendeiner Wurzel (o,)-Na, (og)VaP2, . .
(o,)NaPj; der Zeile dargestellt sind, eventuell ihre Reihenfolge ver-
tauscht.
Um noch zu zeigen, daß niemals eine V urzel irgendeiner Zeile
des Schemas (9) oder (10) rationale Funktion einer Wurzel aus einer
anderen Zeile sein kann, braucht man nur zu beachten, daß (ae)VaP£,
wenn P/ = ) ist, für den Körper (P; glif p2i, .. ., o^)
\91i @2i • ■ • Qki/
die gleiche Rolle als primitive Funktion wie (^15 p2, . . ., für den
Körper (P; £x, p2, . .., o7c) spielt. Maximale automorphe Untergruppe
von Pu1(5 ist Ry1 @fUMjP.-, wofür man wegen der Zugehörigkeit von
Na zur Gruppe auch Py1 2Vft_1Sa(’w)NöPi schreiben kann. Die
Elemente dieser Gruppe erzeugen aus (<je)NaP; die Wurzeln der i-ten
Zeile von (10), nämlich
(oe) N„P(, (c() A'„P( (Pj-1 N„^N2 Pi) -
= (o,)x3y p;,.... (o^yPi (P-iy-uv.y p;) = pä.
Für den Körper (P; gli, g2i, ..., wird die i-te Zeile des Schemas
(10) zur ersten, und wie sich im ursprünglichen Schema (10) keine
Wurzel, die nicht in der ersten Zeile steht, durch das erste Element (p^Na
ausdrücken läßt, kann auch keine Wurzel durch (o-QN^P^ rational aus-
gedrückt werden; es sei denn, daß sie mit (o^W^Pj in gleicher
Zeile steht.
Hat man irgendeine irreduzible Gleichung N(«) = 0 mit Koeffi-
zienten aus P und der Wurzel oe, so bestimmt für sie das Trans-
mutationssystem der Dirigente oe des Körpers (P; c>e) oder das Ver-
teilungsschema (9) der Wurzeln eine Zahl p, die man die Faltigkeit
der irreduziblen Gleichung; nennen könnte. Die Zahl p — -
° n
ist der Index oder der Quotient aus der Anzahl der Trans-
mutationen durch die Anzahl der automorphen Transmuta-
tionen oder gleich der Anzahl der nicht identischen, durch
die Gleichungswurzeln definierten Körper. Im Falle p=l,
wo die Wurzeln der Gleichung nur einen einzigen Körper definieren,
bezeichnet man die Gleichung als Normalgleichung oder Galois-
sche Gleichung.1)
9 Vgl. § 2 (I, S. 17).