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https://doi.org/10.11588/diglit.43528#0031
Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisschen Theorie. 23
ihren Wurzeln stets l (l<Z<n): av a2, .. ., otz so auswählen,
daß diese Dirigenten für ein imprimitives Transmutations-
system sind.
Nach Voraussetzung ist f(x) = 0 imprimitiv, also f(x) zerlegbar in
(2) f (x) = c fx (xy (x-ft2) ... (x-^t),
wobei (a^) = R (a2">) = ... = R(a^ (i = 1,2,..., t), a^, a^\...,
(i = 1,2, ..., t) alle Wurzeln von /"(A) = 0 und #2, ■ ■ ■, alle
*
Wurzeln der in P irreduziblen Gleichung (p (x) = 0 vom Grade Z = y
bedeuten. Wir behaupten: Jedes System von Wurzeln einer
der t Gleichungen f\(x; = 0 liefert, wenn man es zum
Dirigentensystem wählt, ein imprimitives Transmutations-
system. Wir nehmen die.Wurzeln av a2,..., aL von f\(x‘, — 0 als
Dirigenten des Körpers (P; av a2, ..., a.}). Da jede richtige Gleichung
mit Koeffizienten aus P durch die Transmutationen eines Trans-
mutationssystems wieder in eine richtige Gleichung übergeht, folgt aus
f (ah) = 0 (A = 1, 2, . . ., Z), daß jede der Wurzeln av a2, . ■ bei allen
Transmutationen wieder in eine Wurzel von fQr) = 0 übergeführt wird.
AVeiter ergibt sich aus gAP(aÄ)) = 0 (Ä = 1, 2, ..., Z), daß durch die
Transmutationen von a1; ot2,..., az sich stets P (ay) = P(a2) = ■ • • = P (az)
nur in Wurzeln von cp (x) = 0 transmutieren kann, also in eine der
Größen der folgenden t Reihen:
P («/)) = P (a2(0) = ... = P (a<P) (i =1,2,..., tp
Wir betrachten von dem Transmutationssystem der Dirigenten
av a2, . .., op zunächst diejenigen, bei denen sich P (ctj) nicht ändert.
Sie führen alle richtigen Gleichungen zwischen ctx, a2, ..., op mit Koef-
fizienten aus (P; P (a1)) wieder in solche über und bilden daher die
GaloisscIic Gruppe ® der Gleichung (x\ R (a^) = 0 mit den Wur-
zeln ot1, a2, . .., otz. Als GALOissche Gruppe einer Gleichung ist (S>
Permutationsgruppe und weiter ist @ wegen der Irreduzibilität von
/^(AjP^)) im Körper (P;P(a1)) transitiv.1)
Mit der Permutationsgruppe ® der Größen av a2, . .., at kann
nicht ihr ganzes Transmutationssystem erschöpft sein; denn wegen
B Wäre /i (x1; #,) reduzibel und besäße den Faktor P (x; A), so wäre f(x)
durch das Produkt P(®; di) Fi(x-, d-2) . .. P(«; dj teilbar und daher im Wider-
spruch zur Imprimitivität von f{x) im Körper P reduzibel. Da A) irre-
duzibel ist, hat man nach der im § 1 gegebenen Vorschrift zur Bildung eines
beliebigen Transmutationssystems a, durch alle Wurzeln von /i(a?; A), das heißt
sukzessiv durch ai,a2, ..., ai zu ersetzen; und dies bedeutet die Transitivität
von ®.
ihren Wurzeln stets l (l<Z<n): av a2, .. ., otz so auswählen,
daß diese Dirigenten für ein imprimitives Transmutations-
system sind.
Nach Voraussetzung ist f(x) = 0 imprimitiv, also f(x) zerlegbar in
(2) f (x) = c fx (xy (x-ft2) ... (x-^t),
wobei (a^) = R (a2">) = ... = R(a^ (i = 1,2,..., t), a^, a^\...,
(i = 1,2, ..., t) alle Wurzeln von /"(A) = 0 und #2, ■ ■ ■, alle
*
Wurzeln der in P irreduziblen Gleichung (p (x) = 0 vom Grade Z = y
bedeuten. Wir behaupten: Jedes System von Wurzeln einer
der t Gleichungen f\(x; = 0 liefert, wenn man es zum
Dirigentensystem wählt, ein imprimitives Transmutations-
system. Wir nehmen die.Wurzeln av a2,..., aL von f\(x‘, — 0 als
Dirigenten des Körpers (P; av a2, ..., a.}). Da jede richtige Gleichung
mit Koeffizienten aus P durch die Transmutationen eines Trans-
mutationssystems wieder in eine richtige Gleichung übergeht, folgt aus
f (ah) = 0 (A = 1, 2, . . ., Z), daß jede der Wurzeln av a2, . ■ bei allen
Transmutationen wieder in eine Wurzel von fQr) = 0 übergeführt wird.
AVeiter ergibt sich aus gAP(aÄ)) = 0 (Ä = 1, 2, ..., Z), daß durch die
Transmutationen von a1; ot2,..., az sich stets P (ay) = P(a2) = ■ • • = P (az)
nur in Wurzeln von cp (x) = 0 transmutieren kann, also in eine der
Größen der folgenden t Reihen:
P («/)) = P (a2(0) = ... = P (a<P) (i =1,2,..., tp
Wir betrachten von dem Transmutationssystem der Dirigenten
av a2, . .., op zunächst diejenigen, bei denen sich P (ctj) nicht ändert.
Sie führen alle richtigen Gleichungen zwischen ctx, a2, ..., op mit Koef-
fizienten aus (P; P (a1)) wieder in solche über und bilden daher die
GaloisscIic Gruppe ® der Gleichung (x\ R (a^) = 0 mit den Wur-
zeln ot1, a2, . .., otz. Als GALOissche Gruppe einer Gleichung ist (S>
Permutationsgruppe und weiter ist @ wegen der Irreduzibilität von
/^(AjP^)) im Körper (P;P(a1)) transitiv.1)
Mit der Permutationsgruppe ® der Größen av a2, . .., at kann
nicht ihr ganzes Transmutationssystem erschöpft sein; denn wegen
B Wäre /i (x1; #,) reduzibel und besäße den Faktor P (x; A), so wäre f(x)
durch das Produkt P(®; di) Fi(x-, d-2) . .. P(«; dj teilbar und daher im Wider-
spruch zur Imprimitivität von f{x) im Körper P reduzibel. Da A) irre-
duzibel ist, hat man nach der im § 1 gegebenen Vorschrift zur Bildung eines
beliebigen Transmutationssystems a, durch alle Wurzeln von /i(a?; A), das heißt
sukzessiv durch ai,a2, ..., ai zu ersetzen; und dies bedeutet die Transitivität
von ®.