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https://doi.org/10.11588/diglit.43528#0032
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Alfred Loewy:
R(ar) R,^a^) ==... = R(at) läßt fA^R(a1)') alle Permutationen von
@ zu. Würde @ das Transmutationssystem der Dirigenten av a2,..., az
für den Körper P erschöpfen, so würde PPa^') Koeffizienten aus
P haben und müßte im Widerspruch zu t > 1 mit der wegen der Im-
primitivität irreduziblen Funktion f{x) zusammenfallen. //■ sei eine
Transmutation der Dirigenten a±, a2, ..alf die ® nicht angehöre und
ax, a2,al in ax, ä2,..., äz überführe. Die Anwendung dieser Trans-
mutation auf die richtigen Gleichungen PPap = R,(a2) = . . . = R(a()
liefert B(äx) = if(ä2) = ... = _R(äz). Da die Transmutationen der
Dirigenten av a2, ..diese Größen nur in Wurzeln von /'(a;) —0
und weiter dabei R^), R(a2), ..R(ai) in Wurzeln von (#) = ()
überführen, wie oben auseinandergesetzt wurde, müssen äx, ä2, . .., äz
solche l Wurzeln von f(x) sein, für die R(x) gleiche Werte
R = R fa2('-; = . . . = R (a^) (i = 2, 3, . .., t')
annimmt. Man kann also äj = a2 = a2('\ . . äz = a/ö setzen und
gewinnt = (^ Entsprechend den t Wurzeln von
G;) = 0 existieren auch außer der identischen Transmutation noch
t — 1 verschiedene Transmutationen ni (i —2,3, ..., f); denn würde
das Transmutationssystem der Dirigenten av a2, . . al nur Trans-
mutationen PI2, IL& . . IIS haben, wo s kleiner als die Anzahl t der
Wurzeln von g?(a?) = O ist, so würde nach dem Satz 1 f(x) einen irre-
duziblen Faktor niedrigeren Grades mit Koeffizienten aus P besitzen.
Hiermit ist der Satz 2 bewiesen.
Aus den Sätzen 1 und 2 folgt der
Satz 3. Charakteristisch für im primitive Gleichungen
= 0 vom n-tcn Grade ist, daß man aus ihren Wurzeln
Z(l<Z<n) herausgreifen kann, die Dirigenten eines im-
primitiven P-Transmutationssystem s sind.
Aus dem Satz 3 folgt unmittelbar die übliche Definition der im-
primitiven Gleichungen als Theorem, nämlich der
Satz 4. Eine irreduzible Gleichung f(%) = 0 ist dann
und nur dann imprimitiv, wenn ihre Galoissche Gruppe
imprimitiv ist.1)
x) Mit impriinitiven Permutationsgruppen haben sich bereits P. Ruffini,
Cauchy und E. Galois beschäftigt. Eine Behandlung imprimitiver Gleichungen,
ausgehend von der Imprimitivität ihrer GALOisschen Gruppen bei C. Jordan,
Traite des substitutions et des equations algebriques, Paris 1870, S. 259 sowie
bei H. Weber, Lehrbuch der Algebra, Bd. 1, S. 524, 2. Auf!, Braunschweig 1898;
Weber hat auch a. a. 0. S. 504 den Begriff des primitiven und imprimitiven
Körpers ein geführt.
Alfred Loewy:
R(ar) R,^a^) ==... = R(at) läßt fA^R(a1)') alle Permutationen von
@ zu. Würde @ das Transmutationssystem der Dirigenten av a2,..., az
für den Körper P erschöpfen, so würde PPa^') Koeffizienten aus
P haben und müßte im Widerspruch zu t > 1 mit der wegen der Im-
primitivität irreduziblen Funktion f{x) zusammenfallen. //■ sei eine
Transmutation der Dirigenten a±, a2, ..alf die ® nicht angehöre und
ax, a2,al in ax, ä2,..., äz überführe. Die Anwendung dieser Trans-
mutation auf die richtigen Gleichungen PPap = R,(a2) = . . . = R(a()
liefert B(äx) = if(ä2) = ... = _R(äz). Da die Transmutationen der
Dirigenten av a2, ..diese Größen nur in Wurzeln von /'(a;) —0
und weiter dabei R^), R(a2), ..R(ai) in Wurzeln von (#) = ()
überführen, wie oben auseinandergesetzt wurde, müssen äx, ä2, . .., äz
solche l Wurzeln von f(x) sein, für die R(x) gleiche Werte
R = R fa2('-; = . . . = R (a^) (i = 2, 3, . .., t')
annimmt. Man kann also äj = a2 = a2('\ . . äz = a/ö setzen und
gewinnt = (^ Entsprechend den t Wurzeln von
G;) = 0 existieren auch außer der identischen Transmutation noch
t — 1 verschiedene Transmutationen ni (i —2,3, ..., f); denn würde
das Transmutationssystem der Dirigenten av a2, . . al nur Trans-
mutationen PI2, IL& . . IIS haben, wo s kleiner als die Anzahl t der
Wurzeln von g?(a?) = O ist, so würde nach dem Satz 1 f(x) einen irre-
duziblen Faktor niedrigeren Grades mit Koeffizienten aus P besitzen.
Hiermit ist der Satz 2 bewiesen.
Aus den Sätzen 1 und 2 folgt der
Satz 3. Charakteristisch für im primitive Gleichungen
= 0 vom n-tcn Grade ist, daß man aus ihren Wurzeln
Z(l<Z<n) herausgreifen kann, die Dirigenten eines im-
primitiven P-Transmutationssystem s sind.
Aus dem Satz 3 folgt unmittelbar die übliche Definition der im-
primitiven Gleichungen als Theorem, nämlich der
Satz 4. Eine irreduzible Gleichung f(%) = 0 ist dann
und nur dann imprimitiv, wenn ihre Galoissche Gruppe
imprimitiv ist.1)
x) Mit impriinitiven Permutationsgruppen haben sich bereits P. Ruffini,
Cauchy und E. Galois beschäftigt. Eine Behandlung imprimitiver Gleichungen,
ausgehend von der Imprimitivität ihrer GALOisschen Gruppen bei C. Jordan,
Traite des substitutions et des equations algebriques, Paris 1870, S. 259 sowie
bei H. Weber, Lehrbuch der Algebra, Bd. 1, S. 524, 2. Auf!, Braunschweig 1898;
Weber hat auch a. a. 0. S. 504 den Begriff des primitiven und imprimitiven
Körpers ein geführt.