Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Allred Loewy:

rationale Funktionen von 03, q2, . .qj. mit Koeffizienten
aus P gibt, die Gleichungen niedrigeren als s-ten Grades
mit Koeffizienten aus P genügen; dabei ist s die Anzahl
der Transmutationen der Dirigenten Q%, • ■ oder der
Grad des Körpers. Anders ausgedrückt: Ein primitiver Kör-
per (P; 0j, 02, • • •, 0t) enthält keine echten Unterkörper als
in P b efi n d] i ch e; ein i m pri m iti ver Körper enthält stets
solche.
Im Falle des primitiven Körpers kann die Gleichungs-
kett e Xj (x) = 0, X2 (x; ^l) = 0, ..Xk (x; 02, ..= 0 nur
eine einzige Gleichung enthalten, die nicht vom ersten
Grade ist; diese Gleichung hat den Grad s. Wäre nämlich
j 0v 02? • • •> @ä-i) ~ 0 Xty die erste Gleichung von höherem
als erstem, aber niedrigerem als s-tem Grade, so würde sich die
Größe 0A im Widerspruch mit der Primitivität des Körpers befinden.
Der primitive Körper läßt sich auch so charakterisieren: Jede ratio-
nale Funktion seiner Dirigenten 0i, 02, • •., 0& gehört zur
identischen Transmutation E, ändert sich also bei jeder
von dieser verschiedenen Transmutation in ihrem Wert.
Man kann dies auch so ausdrücken: Jede nicht P selbst ange-
hörige Größe eines primitiven Körpers ist primitiv und
genügt stets einer primitiven Gleich ung mit Koeffizienten
aus P [vgl. § 4 (I, S. 41)].
Würde nämlich bei einem primitiven Körper eine Gleichung, die
durch eine rationale Funktion von 0P o2, . . ., Qk befriedigt wird, eine
Tschirnhausenresolvente von niedrigerem als s tem Grade besitzen,
also eine imprimitive Gleichung sein, so gäbe es im Körper
(P; 0i, 02’ • • Qk) im Gegensatz zu seiner Primitivität rationale Funk-
tionen von @1, 02, ..., 07., die selbst Gleichungen niedrigeren Grades
als des Körpergrades s befriedigen.
Wir betrachten nunmehr einen imprimitiven Körper (P; 0J; 02,..., 0&).
Es bedeute eine diesen Körper erzeugende, also primitive Größe,
die demnach einer in P irreduziblen Gleichung s-ten Grades genüge.
Wegen der Imprimitivität des Körpers (P; q^, q2, . . 0fc) besitzt der
Körper rationale Funktionen von o1; q2, . . ., ok, das heißt, da oe primi-
tive Größe des Körpers ist (vgl. § 4, I, S. 41), auch rationale Funk-
tionen von oe, die Wurzeln von Gleichungen niedrigeren als s-ten
Grades mit Koeffizienten aus P sind. Da die durch oe befriedigte
Gleichung demnach Tschirnhausenresolventen niedrigeren Grades be-
sitzt, ist die durch oe erfüllte Gleichung imprimitiv. Wir wollen daher
die primitiven Funktionen von 01? p2, . .., Qji bei einem imprimitiven