Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Abbildung der hyperbolischen Ebene auf die Kugel. H
Es folgt also als Resultat:
Durch die Transformation der Ebene auf die Kugel
mittels komplementärer Parallel winkel werden Geraden
und Zyklen durch Kreise abgebildet.
Das ist erklärlich, denn die Gerade ist eine Abstandslinie mit dem
Abstand 0.
Denken wir uns auf der Kugel den zum Punkte y der Ebene
gehörigen Punkt ~ — 77 (/) = c, er heiße Pz. Dann sollen die Kreise
betrachtet werden, die durch P' gehen und deren Mittelpunkte auf
0' Pz bis zum Äquator wandern. Der Punkt P' selbst ist ein Kreis
mit dem Radius 0; an ihn schließen sich die Kreise, die den Äquator
nicht erreichen; ihnen entsprechen Kreise der Ebene. Wird der Radius
gleich 4 GH)80 berührt der Kreis den Äquator, ihm entspricht
der Grenzkreis durch P. Wird der Radius noch größer, so schneiden die
Kreise den Äquator, ihnen entsprechen Abstandslinien, deren Nullinien
senkrecht zu 0 P an den Punkt P heranrücken. Wird der Radius gleich
—— c, liegt also der Mittelpunkt auf dem Äquator, so hat in der Ebene
die Nullinie den Punkt P erreicht, die Abstandslinie ist zur Geraden
geworden, die mit der Nullinie zusammenfällt. Wird der Abstand
negativ, so beginnt der Mittelpunkt des Bildkreises dieselbe Wanderung
vom diametral gelegenen Punkt des Äquators in umgekehrter Richtung.
Betrachten wir Punkt, Kreis, Grenzkreis,‘ Abstandslinie, Gerade
als Kreise, so hätten wir ihnen der Reihe nach die Radien zuzuordnen:
0, o, oo, i o, i 0. Zwischen den Bildkurven der Kreise o und i o (Ab-
standslinie) bestehen die Beziehungen, die aus dem Satz von §311
hervorgehen.
Teilen wir die Kurven ein in solche mit reellem Radius (Punkt,
Kreis) und solche mit imaginärem Radius (Abstandslinie, Gerade) mit
dem Grenzfall o = oo, so tritt der Zusammenhang am deutlichsten her-
vor, wenn sie alle durch 0 gehen. Dann lautet nämlich Gleichung 16:
(24) S + St = ~ und es folgt der Satz:
Die Radien zweier durch 0' gehender Bildkreise er-
gänzen sich zu —, wenn von den Radien der entsprechen-
den ebenen Kreise der eine imaginär, der andere reell ist
und beide absolut genommen gleich sind. Der Radius
kann dem Betrage nach alle Werte von 0 bis oo durch-
laufen.