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https://doi.org/10.11588/diglit.43539#0012
12
Ernst Roeser:
Auf der Kugel sind Punkt und Gerade als Grenzfälle derselben
Kurve, des Kreises zu betrachten; jedes dieser eindimensionalen Ge-
bilde hat daher dieselbe Maßbestimmung, in den trigonometrischen
Formeln herrscht volle Dualität, wenn man zweckmäßig bezeichnet.
Anders in der hyperbolischen Ebene, hier sind Gerade und Kreis
Grenzfälle verschiedener Kurven, der Abstandslinie und des Kreises.
Will man sie kontinuierlich auseinander herleiten, so muß man über
das Unendliche hinweg zum Imaginären seine Zuflucht nehmen. Beide
Gebilde, Punkt und Gerade haben daher verschiedene Maßbestimmung.
Die Dualität in den Formeln kann nicht bestehen bleiben, sie fordern
heißt die sphärisch-elliptische Geometrie postulieren (imaginärer Über-
gang).
§ 4.
Vergleich mit der gnomonischen Abbildung.
Durch die angegebene Transformation bildet sich die ganze Ebene
eineindeutig auf die Halbkugel ab. Im Wesen der Transformation
liegt es jedoch, die auf beiden Seiten belegte Ebene der Vollkugel
zuzuordnen. Genau so wie die Kugel mit dem Radius x (sh x = 1)
ein Spezialfall der Kugeln mit dem Radius x (x beliebig) ist, kann
die Ebene als Spezialfall x (chx = l) der Abstandsflächen mit den
beliebigen Abständen x aufgefaßt werden. Sei die Ebene die Null-
ebene zu den beiden Abstandsflächen + x, so kann man statt der
Fußpunkte der Lote auf der Ebene die Schnittpunkte dieser Lote mit
den beiden Abstandsflächen als zugeordnete Punkte der oberen und
unteren Halbkugelpunkte betrachten. Wird ch x = 1, also x — 0, so
hätte man sich die Ebene mit doppelter Belegung vorzustellen. Faßt
man aber die Ebene als schlichte Fläche, so hätte man ihr das Voll-
strahlenbüschel eindeutig zuzuordnen und Kugel und Ebene eineindeutig
aufeinander zu beziehen. Die beiden Möglichkeiten verhalten sich zu-
einander wie die sphärische und die elliptische Raumform.
Die gnomonische Abbildung unterscheidet sich von der durch die
Parallelwinkelstrahlen vermittelten vor allem dadurch, daß die Ebene
nur auf einen Teil der Kugel abgebildet wird, der von der Größe des
Radius abhängt. Der Öffnungswinkel der projizierenden Strahlen ist:
(1) 0 = 2IZ(x)
wenn x der Radius der Kugel ist.
Es ist für x = 0 — Ti, für x = oo = 0.
Trotzdem hat für x = co der dazugehörige Grenzkugelkreis den
endlichen Radius 1, denn es ist derjenige Grenzkreisbogen, bei dem
die Achse in dem einen Endpunkt parallel ist zur Tangente im anderen
Ernst Roeser:
Auf der Kugel sind Punkt und Gerade als Grenzfälle derselben
Kurve, des Kreises zu betrachten; jedes dieser eindimensionalen Ge-
bilde hat daher dieselbe Maßbestimmung, in den trigonometrischen
Formeln herrscht volle Dualität, wenn man zweckmäßig bezeichnet.
Anders in der hyperbolischen Ebene, hier sind Gerade und Kreis
Grenzfälle verschiedener Kurven, der Abstandslinie und des Kreises.
Will man sie kontinuierlich auseinander herleiten, so muß man über
das Unendliche hinweg zum Imaginären seine Zuflucht nehmen. Beide
Gebilde, Punkt und Gerade haben daher verschiedene Maßbestimmung.
Die Dualität in den Formeln kann nicht bestehen bleiben, sie fordern
heißt die sphärisch-elliptische Geometrie postulieren (imaginärer Über-
gang).
§ 4.
Vergleich mit der gnomonischen Abbildung.
Durch die angegebene Transformation bildet sich die ganze Ebene
eineindeutig auf die Halbkugel ab. Im Wesen der Transformation
liegt es jedoch, die auf beiden Seiten belegte Ebene der Vollkugel
zuzuordnen. Genau so wie die Kugel mit dem Radius x (sh x = 1)
ein Spezialfall der Kugeln mit dem Radius x (x beliebig) ist, kann
die Ebene als Spezialfall x (chx = l) der Abstandsflächen mit den
beliebigen Abständen x aufgefaßt werden. Sei die Ebene die Null-
ebene zu den beiden Abstandsflächen + x, so kann man statt der
Fußpunkte der Lote auf der Ebene die Schnittpunkte dieser Lote mit
den beiden Abstandsflächen als zugeordnete Punkte der oberen und
unteren Halbkugelpunkte betrachten. Wird ch x = 1, also x — 0, so
hätte man sich die Ebene mit doppelter Belegung vorzustellen. Faßt
man aber die Ebene als schlichte Fläche, so hätte man ihr das Voll-
strahlenbüschel eindeutig zuzuordnen und Kugel und Ebene eineindeutig
aufeinander zu beziehen. Die beiden Möglichkeiten verhalten sich zu-
einander wie die sphärische und die elliptische Raumform.
Die gnomonische Abbildung unterscheidet sich von der durch die
Parallelwinkelstrahlen vermittelten vor allem dadurch, daß die Ebene
nur auf einen Teil der Kugel abgebildet wird, der von der Größe des
Radius abhängt. Der Öffnungswinkel der projizierenden Strahlen ist:
(1) 0 = 2IZ(x)
wenn x der Radius der Kugel ist.
Es ist für x = 0 — Ti, für x = oo = 0.
Trotzdem hat für x = co der dazugehörige Grenzkugelkreis den
endlichen Radius 1, denn es ist derjenige Grenzkreisbogen, bei dem
die Achse in dem einen Endpunkt parallel ist zur Tangente im anderen