Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Abbildung der hyperbolischen Ebene auf die Kugel. 13
(Mittelpunkt 0' im Unendlichen). Die Abbildungsformeln lauten all-
gemein :
(2) tg—~— = ~r~ ebenso für y.
Sil /u SEIX
Von besonderem Interesse ist wieder der Wert shx —1. Die
Gleichungen lauten dann :
tg./- = th^
■' ’ tg y — th
Dieselben Beziehungen bestehen für alle von 0 bzw. von 0' aus-
gehenden Strecken, denn es ist:
(4) tg2r = tg2rc-j- tg2?/ = th2 £ + th2 y = th2 q, folglich:
,„. ch p . sh q
(5) cos r = , sm r = -
Kch2@ + sh2@ ]/ch2 g + sh2 q
Wird dagegen in Gleichung 2 sh x = i gesetzt, so läßt sich dadurch
der imaginäre Zusammenhang zwischen beiden Geometrien verstehen,
denn Gleichung 2 verknüpft die Kugel mit der Ebene, und setzt man
sh x = i, so wird die Beziehung identisch, d. h. die Kugel wird zur
hyperbolischen Ebene. Ist sh x nicht direkt gleich i, sondern nur
proportional zu i, so entsteht statt der Ebene eine Abstandsfläche.
Wird der Kugelradius unendlich, so wird durch die erste Trans-
formation die hyperbolische Ebene der halben Grenzkugel zugeordnet.
Der Übergang zeigt, daß der Unterschied zwischen den gestrichenen
und nichtgestrichenen Größen verschwindet und von den betrachteten
Kurven Gerade, Abstandslinie, Grenzkreis zusammenfallen, wenn sie
auf einer Geraden in demselben Punkte senkrecht stehen.

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