Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die Verbiegung des verlängerten Rotationsellipsoids.

7

U'

(14)

(15)

2

(16)

__. t =_2 tgb .
~ 1 + tg2 u + tg2 b ’ 1 + tg2 u + tg2 b ’
2 tgu
2 — ___—-•
1 + tg2 u + tg2 b
d. h. es ist (aj — l)2 + y2 + ^2 = 1
Die LiEBMANNsche Grenzkugel berührt also die y, ^-Ebene im Null-
punkte. (16) ist genau die LiEBMANNsche Darstellung.
(17) Aus tgU=|.;tgt> = ^ .
ergibt sich die geometrische Bedeutung von U und b.
Wir gehen jetzt zur Integration der Gleichung der Minimalkurven
JE du2 4- G dv2 — 0
auf den Flächen 11 über. Zunächst sei (vgl. 13):
(18) (D2 + F2)du + 2i77Fdv = 0
Multipliziert man mit C 1 und berücksichtigt 6 und 7, so erhält
man für W— V
als Funktion von u die Riccatische Gleichung:
dW
(19) 2^D^W = -TF2 + (C+1) D2+l

Die Flächen sind auf die Krümmungslinien bezogen. Bezeichnet
man mit JE, F, G bzw. D, D', D" die Fundamentalgrößen erster und
zweiter Ordnung, so bestehen die Gleichungen:
_ 7'7'2 1 7/2 _ 9,7/ V
(13) Ve=Cos^ = !^±^; ^ = 8»»=^;
D — D'' = — Sin & ■ Cos F — D' — 0
Von Interesse für uns ist besonders ein singularitätenfreies Stück
der Fläche, das von einer Doppelkurve und 2 Rückkehrkanten begrenzt
wird (vgl. die Arbeit von Liebmann). Mit wachsendem C wächst auch
das sphärische Bild des Flächenstücks. Um zu zeigen, daß die Kugel
Grenzfläche für C = oo ist, setze man:
y _ tgf
Vc ’ V c
Dann wird asymptotisch:
U-1- 1 ;
Vc’ Vc’
da ferner in x und y die Glieder mit sin v stärker verschwinden als die
mit cos v, erhält man, am besten mit Benutzung von (8), in der Grenze
ohne weiteres: