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https://doi.org/10.11588/diglit.43532#0009
Die Verbiegung des verlängerten Rotationsellipsoids.
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Form 3 (§ 1) und für die geodätische Entfernung gilt 4, wobei p und q
gemäß 21 zu ersetzen sind. Der zu p konjugiert komplexe Wert sei P;
dann ist nach 21 q — Berücksichtigt man das, so ist leicht zu
zeigen, daß 4 für reelle Flächenpunkte p, q; p1} q± nur reelle Werte
liefern kann.
Als Beispiel berechnen wir die geodätische Entfernung eines Punktes
u, v von w1 = v1=0. (Pi = S'i=—1 nach 21 und 5.) 4 ergibt dann
d. i.
tgf-
p + g+jy+ 1
p + q — pq — 1 ’
F'2 cos2 y + (U’ cos + U sin )2 .
F'2 sin2 + (Feos --F'sin^)2
Insbesondere erhält man für w=0; F' = 0; U= p-_ :
tg^ = V'CF'
Von den nächstgelegenen Randpunkten F -= + 1 unseres singülari-
tätenfreien Stückes hat der Punkt u — v = 0 also Entfernungen vom Betrag
p = 2 arc tg KC,
sodaß die kürzeste durch diesen Punkt gehende geodätische Linie die
Gesamtlänge 4 arc tg ]/" C besitzt. Aus 12 läßt sich ferner berechnen,
daß die Normalen der Fläche , in den beiden genannten Randpunkten
den Winkel 2 n-p==_—==— bilden. Das gibt ein Maß für den Grad
der Verbiegbarkeit großer Kugelzonen. 4 arc tg JA C ist der Winkel dia-
metral einander gegenüberliegender Randpunkte der Zone vor der Ver-
JT
biegung, 2 %-— der größte dieser Winkel nach der Verbiegung,
V C -p 1
wenn die Verbiegung im Sinne von Liebmann so weit wie möglich ge-
trieben wird. Dieser Winkel ist für alle in Betracht kommenden Werte
von C (C positiv; die Halbkugel z. B/ entspricht C— 1) größer als
4 arc tg V C; die Differenz beider nimmt mit wachsendem C ab (ent-
sprechend der geringeren Verbiegbarkeit größerer Kugelzonen), und zwar
gegen 0; in der Tat ist die Vollkugel ja unverbiegbar.
Es sei noch bemerkt, daß die zu festen Werten u, v und veränder-
lichem C gehörenden Punkte der SiEVERTflächen einander bei dem Ver-
biegungsvorgang nicht entsprechen. Anders ausgedrückt: Die zu festem
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Form 3 (§ 1) und für die geodätische Entfernung gilt 4, wobei p und q
gemäß 21 zu ersetzen sind. Der zu p konjugiert komplexe Wert sei P;
dann ist nach 21 q — Berücksichtigt man das, so ist leicht zu
zeigen, daß 4 für reelle Flächenpunkte p, q; p1} q± nur reelle Werte
liefern kann.
Als Beispiel berechnen wir die geodätische Entfernung eines Punktes
u, v von w1 = v1=0. (Pi = S'i=—1 nach 21 und 5.) 4 ergibt dann
d. i.
tgf-
p + g+jy+ 1
p + q — pq — 1 ’
F'2 cos2 y + (U’ cos + U sin )2 .
F'2 sin2 + (Feos --F'sin^)2
Insbesondere erhält man für w=0; F' = 0; U= p-_ :
tg^ = V'CF'
Von den nächstgelegenen Randpunkten F -= + 1 unseres singülari-
tätenfreien Stückes hat der Punkt u — v = 0 also Entfernungen vom Betrag
p = 2 arc tg KC,
sodaß die kürzeste durch diesen Punkt gehende geodätische Linie die
Gesamtlänge 4 arc tg ]/" C besitzt. Aus 12 läßt sich ferner berechnen,
daß die Normalen der Fläche , in den beiden genannten Randpunkten
den Winkel 2 n-p==_—==— bilden. Das gibt ein Maß für den Grad
der Verbiegbarkeit großer Kugelzonen. 4 arc tg JA C ist der Winkel dia-
metral einander gegenüberliegender Randpunkte der Zone vor der Ver-
JT
biegung, 2 %-— der größte dieser Winkel nach der Verbiegung,
V C -p 1
wenn die Verbiegung im Sinne von Liebmann so weit wie möglich ge-
trieben wird. Dieser Winkel ist für alle in Betracht kommenden Werte
von C (C positiv; die Halbkugel z. B/ entspricht C— 1) größer als
4 arc tg V C; die Differenz beider nimmt mit wachsendem C ab (ent-
sprechend der geringeren Verbiegbarkeit größerer Kugelzonen), und zwar
gegen 0; in der Tat ist die Vollkugel ja unverbiegbar.
Es sei noch bemerkt, daß die zu festen Werten u, v und veränder-
lichem C gehörenden Punkte der SiEVERTflächen einander bei dem Ver-
biegungsvorgang nicht entsprechen. Anders ausgedrückt: Die zu festem