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https://doi.org/10.11588/diglit.43532#0011
Die Verbiegung des verlängerten Rotationsellipsoids.
11
daß der Mittelpunkt der Kugel mit dem einen Brennpunkt des v. R.
zusammenfällt. Man ziehe die Kugelradien. (Brennstrahlen des v. R.)
Durch diese werden die Punkte der Kugel und des v. R. einander zuge-
ordnet. Man stelle sich nun vor, daß das v. R. verbogen werde (gemeint
ist: ein Teil von ihm, da es ja als Ganzes nicht biegbar ist) und denke
die Strahlen während des Biegungsvorgangs starr mit der B. verbunden,
mit der sie also dauernd dieselben Winkel bilden sollen. Die Punkte
der Strahlen, die vor der Verbiegung auf der Kugeloberfläche lagen,
werden dann (nach dem GuiCHARDschen Satze) während des Biegungs-
vorganges eine Fläche konstanter Krümmung 1 erfüllen. Sie werden
übrigens bei dieser „BELTRAMischen Verbiegung“ (Bianchi-Lukat,
2. Aufl., S. 276) zu dieser Kugelbiegungsfläche dauernd normal sein.
Wir betrachten nun die Umkehrung. Das v. R. (Exzentrizität k~),
das also zu«2+^-— 1, oder in Parameterdarstellung:
(23) x = cos cp; y — V1 — /c2 sin cp cos w; z = 1 — k2 sin <p sin w
kongruent ist, hat das Linienelementquadrat:
(24) ds2 = (1 — k2 cos2 99) dtp2 + (1 — k2) sin2 99 dw2
Die Länge der Brennstrahlen beträgt 1 + k • cos cp. Um k • cos cp sind
also entsprechende Punkte der Kugel- und der Ellipsoidbiegungsfläche
voneinander entfernt, und die Verbindungslinie beider Punkte ist zu
jener normal. Sind also x, y, z die Koordinaten eines Punktes der
Kugelbiegungsfläche, A, F, Z die Richtungskosinus der Flächennor-
malen in diesem Punkte, so werden wir für die Koordinaten eines
Punktes der B. des v. R. den Ansatz versuchen:
(25) j = x + k • cos cp • X; t) = y-j-k- cos cp - Y-, 3 = z-\-k cos cp • Z
x, y, Z’, X, Y, Z sind Funktionen der Flächenparameter u, v. Es fragt
sich, ob man cp als Funktion von u, v so bestimmen kann, bzw. welche
Bedingungen es zu erfüllen hat, damit $ (u, v), l) (u, v), 3 (u, v) eine
B. unseres v. R. sei. Ferner machen wir noch die Annahme, die in dem
später zu erörternden, in § 2 vorbereiteten Fall erfüllt ist, daß die Fläche
x, y, z auf die Krümmungslinien bezogen, also F = 0, D' = 0 und außer-
dem wie in 13 D = D" = — sei. Zugleich ist
2©^
Aus den aus 25 folgenden Gleichungen:
dj 1 7 dA dcp d^ 1 7 5A 7 .
x- = x- + & cos cp -k sm cpX -—: x- = x—\-k cos cp —-k sm <pX^-
du du ' du ' du dv dv 'dv * dv
11
daß der Mittelpunkt der Kugel mit dem einen Brennpunkt des v. R.
zusammenfällt. Man ziehe die Kugelradien. (Brennstrahlen des v. R.)
Durch diese werden die Punkte der Kugel und des v. R. einander zuge-
ordnet. Man stelle sich nun vor, daß das v. R. verbogen werde (gemeint
ist: ein Teil von ihm, da es ja als Ganzes nicht biegbar ist) und denke
die Strahlen während des Biegungsvorgangs starr mit der B. verbunden,
mit der sie also dauernd dieselben Winkel bilden sollen. Die Punkte
der Strahlen, die vor der Verbiegung auf der Kugeloberfläche lagen,
werden dann (nach dem GuiCHARDschen Satze) während des Biegungs-
vorganges eine Fläche konstanter Krümmung 1 erfüllen. Sie werden
übrigens bei dieser „BELTRAMischen Verbiegung“ (Bianchi-Lukat,
2. Aufl., S. 276) zu dieser Kugelbiegungsfläche dauernd normal sein.
Wir betrachten nun die Umkehrung. Das v. R. (Exzentrizität k~),
das also zu«2+^-— 1, oder in Parameterdarstellung:
(23) x = cos cp; y — V1 — /c2 sin cp cos w; z = 1 — k2 sin <p sin w
kongruent ist, hat das Linienelementquadrat:
(24) ds2 = (1 — k2 cos2 99) dtp2 + (1 — k2) sin2 99 dw2
Die Länge der Brennstrahlen beträgt 1 + k • cos cp. Um k • cos cp sind
also entsprechende Punkte der Kugel- und der Ellipsoidbiegungsfläche
voneinander entfernt, und die Verbindungslinie beider Punkte ist zu
jener normal. Sind also x, y, z die Koordinaten eines Punktes der
Kugelbiegungsfläche, A, F, Z die Richtungskosinus der Flächennor-
malen in diesem Punkte, so werden wir für die Koordinaten eines
Punktes der B. des v. R. den Ansatz versuchen:
(25) j = x + k • cos cp • X; t) = y-j-k- cos cp - Y-, 3 = z-\-k cos cp • Z
x, y, Z’, X, Y, Z sind Funktionen der Flächenparameter u, v. Es fragt
sich, ob man cp als Funktion von u, v so bestimmen kann, bzw. welche
Bedingungen es zu erfüllen hat, damit $ (u, v), l) (u, v), 3 (u, v) eine
B. unseres v. R. sei. Ferner machen wir noch die Annahme, die in dem
später zu erörternden, in § 2 vorbereiteten Fall erfüllt ist, daß die Fläche
x, y, z auf die Krümmungslinien bezogen, also F = 0, D' = 0 und außer-
dem wie in 13 D = D" = — sei. Zugleich ist
2©^
Aus den aus 25 folgenden Gleichungen:
dj 1 7 dA dcp d^ 1 7 5A 7 .
x- = x- + & cos cp -k sm cpX -—: x- = x—\-k cos cp —-k sm <pX^-
du du ' du ' du dv dv 'dv * dv