Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die Verbiegung des verlängerten Rotationsellipsoids.

13

(29)

(31)

(33)

52 _
dv

dX
l)u

d(p . . 5® , .
-— = — a sm cp sm w: = o sm cp cos w
du T dv
dw dw .
-- = a cos w; v” = S1D 4
du r dv
Stellt man die Integrabilitätsbedingungen auf, so erkennt man, daß
sie mit den beiden folgenden Gleichungen gleichbedeutend sind:
5w dfi da . dtp d& db .
(30) =--sin9?cosy; —sm^siny,
v 7 du dv dcp T dv du dcp
worin # (w, v) die der Fläche x, y, z zugrunde liegende Lösung von 9
bedeutet; übrigens ist:
e = VE + VG -
Die Integrabilitätsbedingung von 30 ist wegen 9 erfüllt. Die 4 fol-
genden Gleichungen für cp, ip (die also w nicht mehr enthalten) stellen
daher ein vollständiges integrierbares System dar:
dtp , . dtp t .
= — a sm 0? sm w; = b • sm cp cos w
du r T dv
dw db da . dw d'd db .
X-— smo9Cös w; sm cp sm ip
du dv dcp dv du dcp
Die Gleichungen 31 entsprechen denen von Bianchi-Lukat, 2. Auf!.,
S. 496, Gl. 15*; wir könnten uns statt mit 28 mit ihnen beschäftigen.
Eine dritte, endgültige Fassung erhält unser Problem durch Einführung
der Funktion: ™
(32) -
Die Gleichungen 31 können nämlich dadurch folgendermaßen zu-
sammengefaßt werden:
(Kf;-Ä:KG)22
(V g- k Ye) 22
Hieraus erhält man die Gleichungen 31 umgekehrt durch Trennung der
reellen und imaginären Bestandteile. Die Gleichungen 33 sind beide
vom RiccATischen Typus. Multiplizieren wir mit du bzw.' dv und addieren,
so erhalten wir die in der Einleitung erwähnte totale RiCCATische Glei-
chung. Gesetzt wir hätten eine Lösung von 33 gefunden, so würden