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https://doi.org/10.11588/diglit.43532#0019
Die Verbiegung des verlängerten Rotationsellipsoids. 19
Die Formel für cos cp soll nur in einem speziellen Falle ausführlich
geschrieben werden. Aus 51 ersieht man aber schon, daß cos <p, wenn
u durch —w ersetzt wird, seinen Wert nicht ändert. Danach haben
die Flächen (50), ebenso wie die SiEVERTflächen, die x, y-Ebene als
Symmetrieebene und besitzen eine in dieser Ebene gelegene Doppel-
kurve. Die ihr entsprechenden Punkte der SiEVERTflächen liegen für
hinreichend großes C beliebig wenig von der Doppelkurve der SiEVERT-
flächen entfernt, und die Länge der Doppelkurve wird für solche C, wie
die der Doppelkurve der SiEVERTfläche, beliebig klein.
Es fragt sich, ob, abgesehen von der angegebenen, für großes C
unwesentlichen Einschränkung des Bereichs der Veränderlichen u, die
B. des v. R. Singularitäten aufweisen in Punkten, die den Punkten des
stets betrachteten singularitätenfreien Stückes der SiEVERTflächen ent-
sprechen. Wir betrachten daher die Größe G® — A2- Nach 26 ist
@@ _ $2 = (]/'E+k cos <p VG)2- (KG + k COS (p V~E)2 4- k2 sin2 <p
(53) [(ET+ieosyl/e)2 (^)2 + (UG4-icoS<P0)2(^)2]
Da EEG und Ä: < 1, kann G® — höchstens dort verschwinden,
wo KCr + Ä; cos 9? y_E = 0, d. h. nach 13
(54) CO8^ = “^72+T2) 18’
Bei dem Grenzübergang (14, 15) geht aber die rechte Seite dieser Glei-
1
chung für alle endlichen Werte von tg U und tg t) in —über, was
wegen k < 1 mit der linken Seite nicht verträglich ist. Das bedeutet,
daß für hinreichend großes C Stellen der SiEVERTflächen, an denen die
Gleichung 54 bestehen könnte, in beliebiger Nähe des Randes unseres
Flächenstückes (der SiEVERTfläche) liegen müssen. Für genügend großes
C haben also unsere B. des v. R. ebenso wie die SiEVERTflächen ein
singularitätenfreies Stück, dessen sphärisches Bild fast die ganze Kugel
(mit Ausnahme der Umgebung nur eines Punktes) überdeckt. Wir
werden noch zeigen, daß bei unbegrenzt wachsendem C unsere Flächen
tatsächlich in verlängerte Rotationsellipsoide übergehen.
Zuvor sollen noch die letzten allgemeinen Erwägungen erläutert
werden durch Untersuchung des besonders einfachen Spezialfalles:
(55) 2 = 2 = U+kV+iVT^WU' F
1 ~UEkV~iVT^EU'+Vl~k2V'
Die Formel für cos cp soll nur in einem speziellen Falle ausführlich
geschrieben werden. Aus 51 ersieht man aber schon, daß cos <p, wenn
u durch —w ersetzt wird, seinen Wert nicht ändert. Danach haben
die Flächen (50), ebenso wie die SiEVERTflächen, die x, y-Ebene als
Symmetrieebene und besitzen eine in dieser Ebene gelegene Doppel-
kurve. Die ihr entsprechenden Punkte der SiEVERTflächen liegen für
hinreichend großes C beliebig wenig von der Doppelkurve der SiEVERT-
flächen entfernt, und die Länge der Doppelkurve wird für solche C, wie
die der Doppelkurve der SiEVERTfläche, beliebig klein.
Es fragt sich, ob, abgesehen von der angegebenen, für großes C
unwesentlichen Einschränkung des Bereichs der Veränderlichen u, die
B. des v. R. Singularitäten aufweisen in Punkten, die den Punkten des
stets betrachteten singularitätenfreien Stückes der SiEVERTflächen ent-
sprechen. Wir betrachten daher die Größe G® — A2- Nach 26 ist
@@ _ $2 = (]/'E+k cos <p VG)2- (KG + k COS (p V~E)2 4- k2 sin2 <p
(53) [(ET+ieosyl/e)2 (^)2 + (UG4-icoS<P0)2(^)2]
Da EEG und Ä: < 1, kann G® — höchstens dort verschwinden,
wo KCr + Ä; cos 9? y_E = 0, d. h. nach 13
(54) CO8^ = “^72+T2) 18’
Bei dem Grenzübergang (14, 15) geht aber die rechte Seite dieser Glei-
1
chung für alle endlichen Werte von tg U und tg t) in —über, was
wegen k < 1 mit der linken Seite nicht verträglich ist. Das bedeutet,
daß für hinreichend großes C Stellen der SiEVERTflächen, an denen die
Gleichung 54 bestehen könnte, in beliebiger Nähe des Randes unseres
Flächenstückes (der SiEVERTfläche) liegen müssen. Für genügend großes
C haben also unsere B. des v. R. ebenso wie die SiEVERTflächen ein
singularitätenfreies Stück, dessen sphärisches Bild fast die ganze Kugel
(mit Ausnahme der Umgebung nur eines Punktes) überdeckt. Wir
werden noch zeigen, daß bei unbegrenzt wachsendem C unsere Flächen
tatsächlich in verlängerte Rotationsellipsoide übergehen.
Zuvor sollen noch die letzten allgemeinen Erwägungen erläutert
werden durch Untersuchung des besonders einfachen Spezialfalles:
(55) 2 = 2 = U+kV+iVT^WU' F
1 ~UEkV~iVT^EU'+Vl~k2V'