Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Eindeutigkeit der Integrale
eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen
und die Konvergenz einer Gattung von Verfahren
zur Approximation dieser Integrale.

§ 1. Problemstellung und Ergebnisse.
Die Funktionen f\(x, yv . . ., yn} (i = 1,2,..., n) seien in dem
durch die Ungleichungen
G = 1,2,..., n; 0, a2 0)
definierten Bereich 33(0!, ö2) gleichmäßig stetig und gleichmäßig be-
schränkt :
(1) \fd%, y» • ■G = 1, 2,..., n).
Wir suchen Systeme von im Intervall (x0 — av x0 + a2) stetigen Inte-
gralen
(2) ■ydx'), . . .,yn(x)
des Differentialgleichungssystems
(3) yi = f\(x, yv . . ., yw) (z = 1, 2, . . ., n),
die den Nebenbedingungen
(4) yd%o) = yit d-l, 2, ..., n)
genügen.
Der Fall, daß die Funktionen öi nur in einem endlichen Bereich
^o —+ \Vi~ 2/iolA& p=l, 2, ..., w)
definiert und stetig sind, läßt sich, indem man nötigenfalls die Zahlen
a± und a2 kleiner wählt, leicht auf den hier formulierten zurückführen
und braucht nicht besonders berücksichtigt zu werden.
Nachdem in einer früheren Arbeit1) das Picard sehe Verfahren
der sukzessiven Approximation der Integrale (2) genauer auf seine
Konvergenz und Divergenz untersucht worden ist, stellen wir uns jetzt
die entsprechende Aufgabe für die Methode der Cauchy sehen Polygon-
züge. Die Untersuchung läßt sich sofort in einem viel weiteren Rahmen
für eine ganze Gattung von Verfahren zur Annäherung der Integrale (2)
b Max Müller, Über das Fundamentaltheorem in der Theorie der gewöhn-
lichen Differentialgleichungen. Math. Zeitschrift 26, 1927, S. 619—645. Kapitel I.
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