DOI Page / Citation link:
https://doi.org/10.11588/diglit.43537#0004
4 Max Müller:
durchführen, die als Spezialfall unter anderem die Methode der Cauchy-
schen Polygonzüge enthält. Die mittels der Verfahren unserer Gattung
gewonnenen Näherungsfunktionen konvergieren immer dann gleichmäßig
gegen die Integrale (2), wenn dieselben die einzigen des Systems (3)
mit den Anfangswerten (4) sind (§§ 2, 3). Dieses Ergebnis gibt Ver-
anlassung, in §§ 4—9 die bisher bekannt gewordenen Einzigkeitskriterien
zusammenzustellen und dabei namentlich von Herrn Tonelli2) gefun-
dene, bisher nur für n = 1 bewiesene Sätze auf ein beliebiges n zu
verallgemeinern. Beim Beweis des ersten der Sätze des Herrn Tonelli
(§ 5) wird außerdem die Verwendung der Lebesguesehen Integral-
theorie durch eine etwas längere, aber ganz elementare Beweisführung
umgangen.
In § 10 wird eine Differentialgleichung konstruiert, bei der die
Cauchysehen Polygonzüge nur bei besonderer Auswahl gegen ein
Integral konvergieren. Das Beispiel ist so gewählt, daß bei ihm die
Methode der sukzessiven Approximationen konvergiert. Da ich in
meiner genannten Arbeit eine Differentialgleichung angegeben habe, bei
welcher die Picard sehe Methode divergiert, aber nach den jetzt er-
haltenen Ergebnissen die Cauchysehen Polygonzüge konvergieren, ist
damit festgestellt, daß die Konvergenzfelder der Methoden von Cauchy
und Herrn Picard nicht identisch sind und keines im anderen ent-
halten ist.
§ 11 beschäftigt sich mit der Methode der Cauchy sehen Polygon-
züge in der bekannten Form, bei der die Lipschitz-Bedingung erfüllt
ist. Der Beweis von Cauchy und Lipschitz ist zwar recht elementar,
aber auch recht lang.3) Deshalb ist man in neuerer Zeit im Anschluß
an Herrn de la Vallee Poussin zu einer von der klassischen abweichenden
Darstellung übergegangen, bei welcher der Konvergenzbeweis mittels
der Abschätzungen für die Differenz der Integrale benachbarter Diffe-
rential-, bzw. besser Deriviertengleichungssysteme erbracht wird.4) Die
von den genannten Autoren verwendete Ungleichung
2) L. Tonelli, Süll’ unicitä della soluzione di un’ equazione differenziale
ordinaria. Atti della R. Accademia nazionale dei Lincei 1925. Rendiconti, classe
di scienze fisiche, matematiche e naturali (6), 1, 1925, S. 272—-277.
8) Vgl. etwa die Darstellung in Serret-Scheffers, Lehrbuch der Differential-
und Integralrechnung, Bd. III, (4. und 5. Aull., Leipzig und Berlin, B. G. Teubner)
1914, S. 43—59.
4) Ch.-J. de la Vallee Poussin, Cours d’analyse infinitesimale, t. II, (2. Aufl.,
Paris, Gauthier-Villars) 1912, S. 181—185. L. Schlesinger, Einführung in die
Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen auf funktionentheoretischer
Grundlage, (3. Auf!., Berlin und Leipzig, de Gruyter & Co.) 1922, S. 5—13.
durchführen, die als Spezialfall unter anderem die Methode der Cauchy-
schen Polygonzüge enthält. Die mittels der Verfahren unserer Gattung
gewonnenen Näherungsfunktionen konvergieren immer dann gleichmäßig
gegen die Integrale (2), wenn dieselben die einzigen des Systems (3)
mit den Anfangswerten (4) sind (§§ 2, 3). Dieses Ergebnis gibt Ver-
anlassung, in §§ 4—9 die bisher bekannt gewordenen Einzigkeitskriterien
zusammenzustellen und dabei namentlich von Herrn Tonelli2) gefun-
dene, bisher nur für n = 1 bewiesene Sätze auf ein beliebiges n zu
verallgemeinern. Beim Beweis des ersten der Sätze des Herrn Tonelli
(§ 5) wird außerdem die Verwendung der Lebesguesehen Integral-
theorie durch eine etwas längere, aber ganz elementare Beweisführung
umgangen.
In § 10 wird eine Differentialgleichung konstruiert, bei der die
Cauchysehen Polygonzüge nur bei besonderer Auswahl gegen ein
Integral konvergieren. Das Beispiel ist so gewählt, daß bei ihm die
Methode der sukzessiven Approximationen konvergiert. Da ich in
meiner genannten Arbeit eine Differentialgleichung angegeben habe, bei
welcher die Picard sehe Methode divergiert, aber nach den jetzt er-
haltenen Ergebnissen die Cauchysehen Polygonzüge konvergieren, ist
damit festgestellt, daß die Konvergenzfelder der Methoden von Cauchy
und Herrn Picard nicht identisch sind und keines im anderen ent-
halten ist.
§ 11 beschäftigt sich mit der Methode der Cauchy sehen Polygon-
züge in der bekannten Form, bei der die Lipschitz-Bedingung erfüllt
ist. Der Beweis von Cauchy und Lipschitz ist zwar recht elementar,
aber auch recht lang.3) Deshalb ist man in neuerer Zeit im Anschluß
an Herrn de la Vallee Poussin zu einer von der klassischen abweichenden
Darstellung übergegangen, bei welcher der Konvergenzbeweis mittels
der Abschätzungen für die Differenz der Integrale benachbarter Diffe-
rential-, bzw. besser Deriviertengleichungssysteme erbracht wird.4) Die
von den genannten Autoren verwendete Ungleichung
2) L. Tonelli, Süll’ unicitä della soluzione di un’ equazione differenziale
ordinaria. Atti della R. Accademia nazionale dei Lincei 1925. Rendiconti, classe
di scienze fisiche, matematiche e naturali (6), 1, 1925, S. 272—-277.
8) Vgl. etwa die Darstellung in Serret-Scheffers, Lehrbuch der Differential-
und Integralrechnung, Bd. III, (4. und 5. Aull., Leipzig und Berlin, B. G. Teubner)
1914, S. 43—59.
4) Ch.-J. de la Vallee Poussin, Cours d’analyse infinitesimale, t. II, (2. Aufl.,
Paris, Gauthier-Villars) 1912, S. 181—185. L. Schlesinger, Einführung in die
Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen auf funktionentheoretischer
Grundlage, (3. Auf!., Berlin und Leipzig, de Gruyter & Co.) 1922, S. 5—13.