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https://doi.org/10.11588/diglit.43537#0006
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Max Müller :
wärtsgenommenen Differentialquotienten ausgestatteten
F u nkti onen
2/iö 0), • • yna(^
liefern, das die Nebenbedingung yia(x0)—-yi0 (i = 1, 2, . . ri)
befriedigt und das System (3) bis auf einen Fehler erfüllt,
dessen absoluter Betrag nicht größer als o ist, das also
im Intervall (a?0 — rr0 + a2) den Ungleichungen
(5) \^±yia(<x)-fi(<x,ylo(x),...,yno(x)')\^o (i= 1, 2,..ri)
genügt.
Die Menge aller von einem solchen Verfahren ge-
lieferten Systeme von Näherungsfunktionen bezeichnen
wir mit die Teilmenge der Systeme, die (5) befriedigen,
mit $ö.
Schon G. Peano* * * 7) hat im Grunde genommen folgenden Satz
bewiesen:
Satz 1: Aus der Funktionen menge $ kann man eine
Folge von Funktionensystemen
.■ C1 > Vm ■« Vo > ' ' ")
r—>oo
auswählen, die im Intervall (x0 — av x0 ß- n2) gleichmäßig
gegen ein Integralsystem (2) des Differentialgleichungs-
systems (3) mit den Ausgangs werten (4) konvergiert.
Den Beweis für Satz 1 gliedern wir in einzelne Abschnitte
(Nr. 2-5).
2. Aus (5) und (1) folgt:
— (47 + o) V Dq- yto (x) <( 71/ + o (7 = 1, 2, . . ., w),
und hieraus für x0 — 4~ a2 nach einem Hilfssatz des
Herrn Perron8):
-(jf+o) I x2 — x± I ^yio (xj-y^ < (71/+o) | x2 — xx |
(7=1, 2,..,W).
Uns interessieren nun nur Funktionensysteme, bei welchen o be-
liebig klein wird; also können wir annehmen, daß o beschränkt bleibt:
0 < o <) o0.
T) G. Peano, Demonstration de l’integrabilite des equations differentielles
ordinaires. Mathematische Annalen 37, 1890, S. 182—228. Vgl. auch: G. Mie,
Beweis der Integrierbarkeit gewöhnlicher Differentialgleichungssysteme nach
Peano. Ebenda 43, 1893, S. 553—568.
8) Mathematische Annalen 76, 1915, S. 474, Fußnote.
Max Müller :
wärtsgenommenen Differentialquotienten ausgestatteten
F u nkti onen
2/iö 0), • • yna(^
liefern, das die Nebenbedingung yia(x0)—-yi0 (i = 1, 2, . . ri)
befriedigt und das System (3) bis auf einen Fehler erfüllt,
dessen absoluter Betrag nicht größer als o ist, das also
im Intervall (a?0 — rr0 + a2) den Ungleichungen
(5) \^±yia(<x)-fi(<x,ylo(x),...,yno(x)')\^o (i= 1, 2,..ri)
genügt.
Die Menge aller von einem solchen Verfahren ge-
lieferten Systeme von Näherungsfunktionen bezeichnen
wir mit die Teilmenge der Systeme, die (5) befriedigen,
mit $ö.
Schon G. Peano* * * 7) hat im Grunde genommen folgenden Satz
bewiesen:
Satz 1: Aus der Funktionen menge $ kann man eine
Folge von Funktionensystemen
.■ C1 > Vm ■« Vo > ' ' ")
r—>oo
auswählen, die im Intervall (x0 — av x0 ß- n2) gleichmäßig
gegen ein Integralsystem (2) des Differentialgleichungs-
systems (3) mit den Ausgangs werten (4) konvergiert.
Den Beweis für Satz 1 gliedern wir in einzelne Abschnitte
(Nr. 2-5).
2. Aus (5) und (1) folgt:
— (47 + o) V Dq- yto (x) <( 71/ + o (7 = 1, 2, . . ., w),
und hieraus für x0 — 4~ a2 nach einem Hilfssatz des
Herrn Perron8):
-(jf+o) I x2 — x± I ^yio (xj-y^ < (71/+o) | x2 — xx |
(7=1, 2,..,W).
Uns interessieren nun nur Funktionensysteme, bei welchen o be-
liebig klein wird; also können wir annehmen, daß o beschränkt bleibt:
0 < o <) o0.
T) G. Peano, Demonstration de l’integrabilite des equations differentielles
ordinaires. Mathematische Annalen 37, 1890, S. 182—228. Vgl. auch: G. Mie,
Beweis der Integrierbarkeit gewöhnlicher Differentialgleichungssysteme nach
Peano. Ebenda 43, 1893, S. 553—568.
8) Mathematische Annalen 76, 1915, S. 474, Fußnote.