Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Max Mülles:

für welche wir auch einfach
y^x\' • •’ yivjc^')> • • • G'= i> ..., n)
schreiben wollen, in allen Punkten der überall dichten Punktmenge;
und zwar ist

lim = lim yiv}k(x^ (z = 1, 2,

ri).

4. In Wahrheit konvergiert die Folge (8) überall im Intervall
(^o ®i> UQd zwar gleichmäßig: Sei e>0; dann können wir
aus der Punktmenge xv x2, . . . eine endliche Menge wachsender Zahlen


herausgreifen, die so dicht liegen, daß

^ + 1 Xn < + 0, 1, 2, . . .,p 1).
In jedem der j)-f-l Punkte X^ konvergiert die Folge (8), also gibt
es eine Zahl W(e) derart, daß
/ i = 1, 2, . . ., n; \
(Id) \ &iV ^(X^ — yiV (X^ »»=1,2,3,..., j
V=o, 1,2, . ..,^-17
fürrÄ>W(e). Ist x eine beliebige Stelle des Intervalles {Xq — ci-^
x0Jra2'), so gibt es auch einen Index n derart, daß
für diese Stelle x ergibt sich dann nach (6), (9) und (10)
I ^+j»^ “ ^fc7) |
- I y^kA.m^ ~ yivk+m I +1 yivk+m^x^ ~ I
Jr\yivk(Xn')-yiv^x) |
< ß- + g" + 3“ = £• (f = 1, 2,. .., n).

Diese Abschätzung besagt die gleichmäßige Konvergenz der Folge
(8) im Intervall (x0 —a-^ x0-}-a2). Da die Funktionen der Menge $
stetig sind, sind auch die Grenzfunktionen
(11) hm yiv (x) = yi(x') (« = 1, 2, . . ., w)
vk-^°°
im Intervall (x0 — a1} x0-[-a2) stetig.
Das Ergebnis dieses Abschnittes formulieren wir noch besonders in
Satz 2. Konvergiert eine Folge von Systemen der
Menge auf einer das Intervall {x0 — av x0-}-a2) überall
dicht bedeckenden, insbesondere seine Endpunkte ent-
haltenden Punktmenge, so konvergiert sie im ganzen Inter-
vall, und zwar gleichmäßig.