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https://doi.org/10.11588/diglit.43537#0012
12
Max Müller:
Für die Polygonzüge (16) ist Satz 1 bereits von Peano7 *), Arzela9),
Herrn Montel10) und Herrn Perron11) bewiesen worden.
II. Die von der Methode der approximativen Polynome
gelieferten Funktionen.12) Nach Weierstrass gibt es n,Folgen
von ganzen rationalen Funktionen in x, yv .., yn .oder auch von ganzen
rationalen Funktionen in yx, . yn mit von x stetig abhängenden
Koeffizienten { (x, yv . ., yn) } (i = 1, 2, .., w) derart, daß in dem
durch die Ungleichungen
Xq K d~ I Vi — Vio I (-^d- °o) Afoze (ttj, tt2)
(i = 1,2,.., n)
definierten Bereich gleichmäßig
I t i Wyi> • yn) Pi/. (phPi; • • •> yn) I < ° a0 = 1, 2, . ., w),
sobald 2 > A (a). Die Lösungen der Differentialgleichungssysteme
y'M =PnW,yn W, • ■, ynj,W) 1, 2,2 = 1,2,3,...)
mit den Anfangs werten ^2(^0) — y^ (^ = 1, 2, ..., n; 2 = 1, 2, 3, .. .)
existieren im ganzen Intervall (x0 — a1> x0 + «2) und bilden eine Menge
denn es ist
d^^>- - fi yn W, •■■■> VnX W) |
— - Pa Cd vn W,. ynx W) | +12^2 (X yn W), • ■> ynx W)
— fi W yn Wh ■ yn W) |
<0 (i = 1, 2, .., n).
Für diese spezielle Menge habe ich a. a. O. Satz 1 bewiesen.
III. Eine Menge $ bilden auch die von Herrn H. Kneser13) be-
nutzten Parabelpolygone
Vik W = ^0 (^ = 1, 2, . . ., w),
yiJc (&) ~ yilt d- fi (Axi y^lc (^x)’ • ynie (*^«)) U d“ 0^ *D<)
für xK < x A t (z = 0, 1, 2, ..., k — 1; i = 1, 2, .., n),
7) Siehe S. 6 unten.
9) C. Arzela, Sull’integrabilitä delle equazioni differenziali ordinarie.
Memorie della R. Accademia delle scienze dell’ Istituto di Bologna (5), 5, 1895,
S. 257—270; Süll’ esistenza degli integrali nelle equazioni differenziali ordinarie.
Ebenda (5), 6, 1896, S. 131—140.
10) P. Montel, Sur les suites infinies de fonctions. Annales scientifiques
de l’ecole normale superieure (3), 24, 1907, S. 233—834, besonders S. 264 ff.
u) O. Perron, Ein neuer Existenzbeweis für die Integrale eines Systems ge-
wöhnlicher Differentialgleichungen. Mathematische Annalen 78, 1918, S. 378—384.
12) Vgl. Kapitel II der in Fußnote b genannten Arbeit.
13) H. Kneser, Über die Lösungen eines Systems gewöhnlicher Differential-
gleichungen, das der Lipschitzsehen Bedingung nicht genügt. Sitzungsberichte
der Preußischen Akademie der Wissenschaften, phys.-math. KL, 1923, S. 171—174.
Max Müller:
Für die Polygonzüge (16) ist Satz 1 bereits von Peano7 *), Arzela9),
Herrn Montel10) und Herrn Perron11) bewiesen worden.
II. Die von der Methode der approximativen Polynome
gelieferten Funktionen.12) Nach Weierstrass gibt es n,Folgen
von ganzen rationalen Funktionen in x, yv .., yn .oder auch von ganzen
rationalen Funktionen in yx, . yn mit von x stetig abhängenden
Koeffizienten { (x, yv . ., yn) } (i = 1, 2, .., w) derart, daß in dem
durch die Ungleichungen
Xq K d~ I Vi — Vio I (-^d- °o) Afoze (ttj, tt2)
(i = 1,2,.., n)
definierten Bereich gleichmäßig
I t i Wyi> • yn) Pi/. (phPi; • • •> yn) I < ° a0 = 1, 2, . ., w),
sobald 2 > A (a). Die Lösungen der Differentialgleichungssysteme
y'M =PnW,yn W, • ■, ynj,W) 1, 2,2 = 1,2,3,...)
mit den Anfangs werten ^2(^0) — y^ (^ = 1, 2, ..., n; 2 = 1, 2, 3, .. .)
existieren im ganzen Intervall (x0 — a1> x0 + «2) und bilden eine Menge
denn es ist
d^^>- - fi yn W, •■■■> VnX W) |
— - Pa Cd vn W,. ynx W) | +12^2 (X yn W), • ■> ynx W)
— fi W yn Wh ■ yn W) |
<0 (i = 1, 2, .., n).
Für diese spezielle Menge habe ich a. a. O. Satz 1 bewiesen.
III. Eine Menge $ bilden auch die von Herrn H. Kneser13) be-
nutzten Parabelpolygone
Vik W = ^0 (^ = 1, 2, . . ., w),
yiJc (&) ~ yilt d- fi (Axi y^lc (^x)’ • ynie (*^«)) U d“ 0^ *D<)
für xK < x A t (z = 0, 1, 2, ..., k — 1; i = 1, 2, .., n),
7) Siehe S. 6 unten.
9) C. Arzela, Sull’integrabilitä delle equazioni differenziali ordinarie.
Memorie della R. Accademia delle scienze dell’ Istituto di Bologna (5), 5, 1895,
S. 257—270; Süll’ esistenza degli integrali nelle equazioni differenziali ordinarie.
Ebenda (5), 6, 1896, S. 131—140.
10) P. Montel, Sur les suites infinies de fonctions. Annales scientifiques
de l’ecole normale superieure (3), 24, 1907, S. 233—834, besonders S. 264 ff.
u) O. Perron, Ein neuer Existenzbeweis für die Integrale eines Systems ge-
wöhnlicher Differentialgleichungen. Mathematische Annalen 78, 1918, S. 378—384.
12) Vgl. Kapitel II der in Fußnote b genannten Arbeit.
13) H. Kneser, Über die Lösungen eines Systems gewöhnlicher Differential-
gleichungen, das der Lipschitzsehen Bedingung nicht genügt. Sitzungsberichte
der Preußischen Akademie der Wissenschaften, phys.-math. KL, 1923, S. 171—174.