Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Eindeutigkeit der Integrale usw. 15
also in einer gewissen rechtsseitigen Umgebung (x0, #04-<5) der Stelle
Xq auch
m» («) < yv (x) < (x) (v = 1, 2, . . ., n).
Wären nun die Ungleichungen (21) nicht im ganzen Intervall (#0, #0+a2)
erfüllt, so gäbe es aus Stetigkeitsgründen eine Stelle x — xr mit fol-
genden Eigenschaften:
Xq —<5 U x-^ U x0 —p- $2,
(x)yv(x)(x) für xQ^x^xv v=l,2,. . n,
oder y;^i) = ‘öz(^i)
für mindestens einen Index v = k
Verfolgen wir die erste Möglichkeit: Ist 0 < h < d, so ist
co. (xx — Ä) < y} (xt — A),
also auch
y, (»h) < D_ co. (zj < Min [f (^, yv ..yn}\
Z Z Z
Min ^1, • • •, , ,,-.u2/n)]
Z1 Z Z + 1
i = 1, 2, ..., n; i 4 2
2/1 Ul); • • o yn^\
während doch im Widerspruch hierzu
D_ (^) = yx UJ, • ",yn (M
sein muß. Ebenso führt die Verfolgung der zweiten Möglichkeit
y. (^1) = (^1) auf eioen Widerspruch.
Ein vollständiges Omegagebiet wird beispielsweise für jedes e > 0
durch die Ungleichungen
x0 < x x0 + «2, | ^0 I U(df+e) I x-x0 I
(r = 1, 2, . . ., n)
abgegrenzt.
2. Aus Satz 5 folgt sofort
Satz 6. Dafür, daß das Differentialgleichungssystem
(3) nur ein einziges Integralsystem (2) mit den Anfangs-
werten (4) hat, ist hinreichend, daß es zu jeder positiven
Zahl e ein vollständiges Omegagebiet gibt, für welches
0 < k2v (x) — cov U)^e (v = 1, 2, . . ., n).
Für n—1 findet sich dieser Satz schon bei Herrn T. Yosie.15)
Satz 7. Für n=l ist die Bedingung des Satzes 6 auch
notwendig.15)

18) T. Yosie, Über die Unität der Lösung der gewöhnlichen Differentialglei-
chungen erster Ordnung. Japanese Journal of Mathematics 2, 1925, S. 161—173.