Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Eindeutigkeit der Integrale usw.

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§ 8. Eindeutigkeitssätze. Fortsetzung.
Die Gesamtheit der Integralkurven des Differentialgleichungs-
systems (3), die vom Punkt (ir0, y10, .., yn^) ausgehen, ist ein Gebilde,
das wir in Anlehnung an die einfachsten Fälle als Trichter bezeichnen
wollen. Peano7) hat bewiesen, daß der Schnitt dieses Trichters mit
einer Ebene x — constans eine abgeschlossene Menge ist, Herr
H. Kneser13), daß diese Menge ein Kontinuum bildet* * 22). Die Ab-
schätzungen der Sätze 11 und 12 lieferten Schranken für die Pro-
jektionen der Schnittfigur in die einzelnen Ebenen. Wir wollen
jetzt den Durchmesser der Schnittfigur unmittelbar abschätzen. Das
führt zu

Qi G?) —coj^))2.

'0 As

z2>

Satz 16. Die Funktion w) sei stetig im Bereich

Genügen im vollständigen Omegabereich18) die Funktionen
fi der Ungleichung

(44)


so gilt für irgend zwei Integralsysteme y-^x), .., yn(x) und
.., fyn(x) des Differentialgleichungssystems (3) mit den
Anfangswerten (4) im Intervall (x0,x0-\-a2) die Abschätzung

= j/ 2 (yi(x) — yyxyy Z(x) = Min [b(x), 0(x)J,
i — 1

wenn ^(ic) das füra? = a?0 verschwindende Maximalintegral der
Differentialgleichung
Z = <p*(x,z)
bedeutet, deren rechte Seite
= (p(x,z), falls () <.b(x),
cp*(x, z) = (p(x,Q'), falls £<0,
(p*(x,z) = cp(x,b(x)'), falls £>&(#).
Zusatz: Entsprechendes gilt für das Intervall (xQ — x0), dabei
ist die Ungleichung (44) durch die folgende zu ersetzen:

7) Siehe S. 6 Fußnote 7. 13) Siehe S. 12 Fußnote 13.
18) Siehe S. 16 Fußnote 18.
22) Ein zweiter Beweis befindet sich in meiner der Redaktion der Mathe-
matischen Zeitschrift eingereichten Arbeit: Beweis eines Satzes des Herrn
H. Kneser über die Gesamtheit der Lösungen, die ein System gewöhnlicher
Differentialgleichungen durch einen Punkt schickt.