Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Eindeutigkeit der Integrale usw. 29

4=1
sein muß. Und falls £ = a?0, weil d (ico) = 0, daß
D+ d (£) - 0 D+ Z1 (£) > & z± (£)) o.
Wegen dieser Widersprüche muß (46) gelten. W. z. b. w.
§ 9. Eindeutigkeitssatz des Herrn Nagumo.
Satz 17. Genügen in einem vollständigen Omega-
gebiet die Funktionen f^ der Bedingung
(49) fi (x, yv . . yn) - fr (x, . . ., zn) Max fy Q - zQ)
t/zo q = 1,.., n
für yi (i=l,2, . . n),
wobei 0<Z;< 1, dann hat das Differentialgleichungssystem
(3) im Intervall (x0, ®04-fl2) nur ein einziges Integralsystem
mit den Anfangs werten (4).
Zusatz: Ein entsprechender Satz gilt für das Intervall (x0— av x0);
dabei tritt an die Stelle der Bedingung (49) die folgende:
k
(50) fi (x, y^, . . ., y^f) fi (x, z^ . . zn) A Max fy g — zg)
iüv y^Zi (i=l,2,...,n).
Beweis für Satz 17. Gäbe es zwei verschiedene Systeme stetiger
Integrale j/x(a?), . . 'tjn(xf) und y1(yxf), . . yn{x} mit ^en Anfangswerten
(4) , so gäbe es bei geeigneter Wahl der Bezeichnungen eine Stelle xr
derart, daß
Xq <C X-± U Xq —|— 6Z2>
y^ (xf) ^>y^ (xx) für mindestens einen Index « = 2.
Setzen wir
u (x) = Max (x) — yf) (xf),
Q = l,..,n
so ist also
w(^)^^ (^i)-^.(^i)>°-
Setzen wir ferner
v (x) = k ——— (x — x^),
7 /y1 _ zp /z
cA/JL U/Q
so ist
M (^o) = 0, v (a;0) = 0,
D+ u (a?0) = Max / D+ (fyQ (x) — yg (x)) } _ =0,
o = 1,.., n x — x0
D+ v(a?0) = k>o = j[)+u