Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Mix Müller:

also in einer hinreichend kleinen rechtsseitigen Umgebung (x~,x'} der
Stelle x = x0 auch
u (x) < V (xf
Andererseits ist
v (^i) = (x-f) <C u (irx).
Die stetige Funktion u (x) - v (x) hat im Intervall (xf x1) also min-
destens einmal Zeichenwechsel, und ist x = £ die größte ihrer Null-
stellen in diesem Intervall, so ist

tZ/Q

D+ u (£) )> D+ v (£).
Dieselben Überlegungen, die zu den Beziehungen (25) und (26) führten,
lehren, daß für einen gewissen Index i=j

(51)
(52)

, . u (£> = fj (£) - (£),
fi (£, Vl • ■> fn (£)) - fj (£, ; IJn (D) = D+ U (£)


= Max (£<?(£)-
im Widerspruch zu (49). Deswegen ist im Intervall (#0, #ö + a2)
durchweg (x} = yt(x) (i = 1, 2, . . ., n), w. z. b. w.

Bemerkung: Wie in § 5 kann man auch hier statt der Un-
gleichung (49) die Ungleichung
k
fi y» ■ • yn\ - fi (%, • • ■> Zn) < Max \ yQ-^e I
= 1,.n
für (i= 1, 2, . . n; 0<yk<C 1),
bzw. statt (50) die entsprechende voraussetzen. Beim Beweis hat
man dann
u (a?) = Max I yQ (x) - yQ (x) |
0 = 1, ..,n
zu setzen und, falls
u (^) = I y? (^) - y? (^)) = fj (Ö - fj
in den Beziehungen (51) u. (52) die beiden Integralsysteme zu vertauschen.
Für n = 1 ist Satz 17 bereits von Herrn Nagümo25) bewiesen
worden. Außerdem steckt in demselben noch folgender bemerkens-
werter Spezialfall:

2B) M. Nagumo, Eine hinreichende Bedingung für die Unität der Lösung
von Differentialgleichungen erster Ordnung. Japanese Journal of Mathematics
3, 1926, S. 107—112. Herr T. Yosie hat mir in entgegenkommender Weise von
dieser Arbeit einen Fahnenabzug zur Verfügung gestellt.