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https://doi.org/10.11588/diglit.43537#0031
Über die Eindeutigkeit der Integrale usw.
31
Satz 18. Genügen in einem vollständigen Omegagebiet
die Funktionen der Bedingung
1 n
j fi (x> Vv • • •> Vn) ~~ ^1» • • •? ^n) | \ X — X i ^Q\y |
1 ')lö = l
(i = 1, 2, . . ri),
n <
wobei 7^, >0, 2 s0 hat im Intervall [xy- av x0-}-a2) das
Differentialgleichungssystem (3) nur ein einziges Integral-
system mit den Ausgangswerten (4).
In der Tat ist unter den Voraussetzungen von Satz 18 auch
l f^x, yv . . y.^ - fi{x, .. , Max • | yQ - |
• l xo I q = 1,.n
(i=l, 2,. . ri),
wobei k — k1^k2-\-..-[-kn<.l, d. h. die Voraussetzung von Satz 17
mit der in der vorangehenden Bemerkung angegebenen Änderung
erfüllt.
§ 10. Eine Differentialgleichung,
bei der die Cauchyschen Polygonzüge divergieren.
1. Es ist denkbar, daß die Cauchysehen Polygonzüge überhaupt
immer auch ohne besondere Auswahl gegen ein bestimmtes der In-
tegralsysteme mit den Anfangswerten (4) konvergieren, sobald die
Funktionen fstetig sind. Jedenfalls bleibt noch zu entscheiden, ob
es an der Beweismethode oder in der Natur der Sache liegt, daß man
bei nur stetigen Funktionen f\ das Beweismittel der Auswahlkonvergenz
heranziehen muß.
Wir werden deshalb in diesem Paragraphen eine Differential-
gleichung yr =f (x, y) konstruieren, bei der f (x, y) stetig, aber so be-
schaffen ist, daß die Methode von Cauchy -Lipschitz divergiert. Dabei
wollen wir es für einen weiteren Zweck so einrichten, daß f(x, y) mit
wachsendem y nicht abnimmt.
Bei einer Differentialgleichung y'=f(x,y) sind für die Unter-
teilungen
• X0 X1 ‘ ‘ V . . . “C Xig Xq -ß C?2
die Cauchysehen Polygonzüge die folgenden:
(#o) JV
= + für x^<x^xx+1 ■
(x = 0,1, 2,.., 7: —1).
Alle haben im Punkte (x0,y0) dieselbe Ausgangsrichtung
D+ y^o) =f(x0, yk[x^ = f{x0, y0\
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Satz 18. Genügen in einem vollständigen Omegagebiet
die Funktionen der Bedingung
1 n
j fi (x> Vv • • •> Vn) ~~ ^1» • • •? ^n) | \ X — X i ^Q\y |
1 ')lö = l
(i = 1, 2, . . ri),
n <
wobei 7^, >0, 2 s0 hat im Intervall [xy- av x0-}-a2) das
Differentialgleichungssystem (3) nur ein einziges Integral-
system mit den Ausgangswerten (4).
In der Tat ist unter den Voraussetzungen von Satz 18 auch
l f^x, yv . . y.^ - fi{x, .. , Max • | yQ - |
• l xo I q = 1,.n
(i=l, 2,. . ri),
wobei k — k1^k2-\-..-[-kn<.l, d. h. die Voraussetzung von Satz 17
mit der in der vorangehenden Bemerkung angegebenen Änderung
erfüllt.
§ 10. Eine Differentialgleichung,
bei der die Cauchyschen Polygonzüge divergieren.
1. Es ist denkbar, daß die Cauchysehen Polygonzüge überhaupt
immer auch ohne besondere Auswahl gegen ein bestimmtes der In-
tegralsysteme mit den Anfangswerten (4) konvergieren, sobald die
Funktionen fstetig sind. Jedenfalls bleibt noch zu entscheiden, ob
es an der Beweismethode oder in der Natur der Sache liegt, daß man
bei nur stetigen Funktionen f\ das Beweismittel der Auswahlkonvergenz
heranziehen muß.
Wir werden deshalb in diesem Paragraphen eine Differential-
gleichung yr =f (x, y) konstruieren, bei der f (x, y) stetig, aber so be-
schaffen ist, daß die Methode von Cauchy -Lipschitz divergiert. Dabei
wollen wir es für einen weiteren Zweck so einrichten, daß f(x, y) mit
wachsendem y nicht abnimmt.
Bei einer Differentialgleichung y'=f(x,y) sind für die Unter-
teilungen
• X0 X1 ‘ ‘ V . . . “C Xig Xq -ß C?2
die Cauchysehen Polygonzüge die folgenden:
(#o) JV
= + für x^<x^xx+1 ■
(x = 0,1, 2,.., 7: —1).
Alle haben im Punkte (x0,y0) dieselbe Ausgangsrichtung
D+ y^o) =f(x0, yk[x^ = f{x0, y0\