Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

10 R'Mühlbach: Über Raumkurven in der Möbius’schen Geometrie.

Die Gleichung b'2 = — b4 + Ab2 — 1 nimmt dann die Form an:
t2 = — 4 + 4At — 4t2 die man leicht integrieren kann;

r = Ut) = .4:|rA*-4-eos (2t)+|
Ebenso findet man leicht in dem Fall, daß die Normalkugeln alle
auf einer festen Kugel senkrecht stehen (hier bringt man die feste
Kugel an den Platz der Einheitskugel um den O-Punkt):
1 = 1-B
Q
t = (+KA2 + 4B-cos (2 K-Bt)+A):-2 B
wobei - die nichteuklidische Krümmung,
- die nichteuklidische Windung
und t die nichteuklidische Bogenlänge' bedeutet.
(Vgl. L. Berwald, Differentialinvarianten in der Geometrie. Rie-
MANNSche Mannigfaltigkeiten und ihre Verallgemeinerungen. Enzyklo-
pädie, III, 3,11, S. 96.)

Man kann schließlich sagen: Die Extremalen unseres Variations-
problems bestehen aus den Kurven, die durch die euklidischen natür-
lichen Gleichungen
1=1
t = (± KA2-4 • cos 2t+ A):2
gegeben sind rind aus Kurven, die durch die nichteuklidischen natür-
lichen Gleichungen
4 = i-b
Q
t = V1-B(± Vä* + 4B • cos (2V~~Bt}-VA}:-2B
gegeben sind, und aus den „Möbius- Verwandten“ von solchen Kurven.