Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über Raumkurven in der Möbius’schen Geometrie.

§ 1. Pentasphärische Koordinaten und Möbiustransformationen.1)
Projiziert man die Punkte des Raumes stereographiscli auf die
Hyperkugel (im Ri) um den O-Punkt mit dem Radius 1, etwa vom
„Nordpol“ der Hyperkugel aus, so kann man den Punkten und Kugeln
des Raumes folgende „pentasphärische“ Koordinaten zuordnen:

1. Pentasphärische Koordinaten des Punktes seien die Koordinaten
der Hyperebene, welche die Einheitshyperkugel im stereo-
graphischen Bildpunkt berührt,
2. Pentasphärische Koordinaten der Kugel seien die Koordinaten
der Hyperebene, welche aus der Einheitshyperkugel die stereo-
graphische Bildkugel herausschneidet.
Sind x, y, z, R kartesische Koordinaten und ui, U2, 113, tu, u5
homogene Hyperebenenkoordinaten, so lauten die Formeln der stereo-
graphischen Projektion:

1. Für Punkte:
Ui = qx
u2 = py
U3 = pZ
x24-y2-]-z2 — 1
«<=P 2
x2~ry2-j-z24-1
U5 = — Q--g-
2. Für Kugeln:
Ui ~ OX
u2 = oy
U3 = pZ
x2 + y2 + z2 — R2— 1
2
x2+y2+z2 —R2+l
»5 = p 2

Wenn (ui} = U und (itu) = ui2+1122 + U32 + U42—u52 = o die
Gleichung der Einheitshyperkugel in Ebenenkoordinaten ist, so ist für
Punkte (uu)=0, für reelle Kugeln (uit)>0.

1) Vergleiche G. Thomsen: Über konforme Geometrie II, Abhandlungen
aus dem Mathern. Seminar der hamburgischen Universität.

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