Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

4

R. Mühlbach:

Bei Benutzung der pentasphärischen Koordinaten stellen sich die
Möbiustransformationen im R3 dar als die linearen Transformationen

der Hyperebenenkoordinaten :
5
(1) u* = 2’aikU]£ 1=1,1-. 5
k:l
welche die Form (uu) nur um einen konstanten Faktor vermehren.
Damit ist das Studium der Möbiusgeometrie auf lineare In-
variantentheorie zurückgeführt.
Da man jede Transformation (1) spalten kann in eine Trans-
formation, die (uu) absolut invariant läßt und eine andere von der
Form u*=cuj, die letztere aber in der Gruppe der Umnormierungen
u* = 2(u) tu enthalten ist, so ist jeder Ausdruck aus „Skalarprodukten“
(ttb) = uivi H-U2V2+U2V3+uiV4—U5V5, der sich bei Umnormierungen
nicht ändert, eine Invariante: z. B.

(2)

? O)2
COS 2 Cß = z ' —T-
(uu) (bb)

wo cp der Winkel zwischen 2 Kugeln ist.

§ 2. Invarianter Parameter für Raumkurven.1)
Es sei £ ein Funkt, also (jf) = o. Eine Kurve ist dann durch
Q.(t). j(t)) _ 0 gegeben.
Als invarianten Parameter kann man

d„ = l/iJml2 dt
+ (jü‘
einführen, wenn Punkte Ableitung nach t bedeuten und j £ jj|2 als
das skalare Quadrat (jlj j j j || ■ j ji j||) des Vektors j|j j j J || definiert
ist, der so erklärt wird: t = d, b, C, b || sei das „Vektorprodukt“ von
a, b, c, b, d. h. die durch die Forderung Det. (ö, b, C, b, 3) = (t 3), die für
jeden Hilfsvektor 3 gelten soll, gegebene Kugel t.
Dieser Parameter 1, der invariant gegen Parameterwechsel von t
und Umnormierungen von j ist (beim Beweis benutzt man, daß
a + cc-b, b, C, b|| = ||a, b, C,b|| und \\pia, b, C,b)] = ^|ja, b, C, b!|) ist invariant
gegen Möbiustransformationen; denn er besteht wegen

(2 a)


aus lauter Skalarprodukten.

(j?) (n) tes) (M)
(n) (H) (n) (ts)
O (W (n) (s¥)
Cn) Cs ö (ü) Cn:)

1) Der Parameter o ist von H. Liebmann in den „Sitzungsberichten der
Bayrischen Akademie der Wissenschaften“, Sonderabdruck aus Jahrgang 1923,
aufgestellt.