Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über Raumkurven in der Möbius’sehen Geometrie.

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Wählt man als Normierungsfaktor von % g = 1 (vgl. S. 3) und als
Parameter t die euklidische Bogenlänge, so ergibt sich unter Benutzung
der FreneEschen Formeln leicht


Dies stellt bis auf einen Zahlfaktor den „unendlich kleinen
Winkel“ zwischen Kurve und Krümmungskreis vor.
Man sieht ferner, daß die einzigen 0-Linien im Reellen die
Kreise (- = Windung = 0; g = Krümmungsradius = const.) sind.

Um die Extremalen von o zu berechnen, bedient man sich zweck-
mäßig der Ableitungsgleichungen, welche sich, analog den Frenet’schen
Gleichungen für kartesische Koordinaten, auch für pentasphärische
Koordinaten aufstellen lassen.

§ 3. Abieitungsgleichungen.
Entsprechend dem „begleitenden Dreibein“ von Freuet, benutzt
man hier ein „begleitendes Fünfbein“, d. h. 5 linear unabhängige
Vektoren, die den Kurvenpunkt auf seiner Reise längs der Kurve
begleiten, und aus denen man alle anderen begleitenden Vektoren,
also auch die Ableitungen, linear kombinieren kann.
Die 5 Beine seien:
1. Der Kurvenpunkt £,
2. die Schmiegkugel §,
3. die durch den Krümmungskreis gehende und auf § senkrecht
stehende Normalkugel n.
Es sei t folgende Kugel: Wenn q der zweite Schnittpunkt dreier
benachbarter Normalkugeln ist (j ist der erste), so soll t auf § und n
senkrecht stehen und durch j und r hindurchgehen.
4. die Kugel f,
5. J, der zweite Schnittpunkt der Kugeln:
n, t.
Der Normierungsfaktor g sei bei diesen 5 Vektoren jedesmal so
gewählt, daß (j^)=l (wenn man die Normierung von j gewählt hat,
ist dadurch diejenige von r festgelegt) (§ §) = (n n) = (t t) = 1.
Wegen (2) (Seite 4) gilt für orthogonale Kugeln u, b:
(ub) = 0