Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Keinhold Baer:

Für beliebiges 38, dem aber gemäß Satz 1 ein Körper B ent-
spreche, erhalten wir also eine in G realisierbare Zerlegung von 31
nach 33, wenn wir zwei Elemente von 31 dann und nur dann zur
gleichen Klasse nach SB rechnen, wenn sie den gleichen Isomorphismus
von B induzieren; die sich ergebende Zerlegungsmischgruppe ist also
die Isomorphismenmischgruppe von B über /<; G stellt aber eine
Gruppe [rücksichtlich dieser Zerlegung von 31 nach 33] kongruenter
Abbildungen von 31 dar, wie aus Satz 1 des § 1 von Mz und Definition 1
des § 1 von Mz folgt. —

Wir führen jetzt einige Bezeichnungen ein:
Sei 36 eine Untermischgruppe von 31, zu der gemäß Satz 1 ein Körper S
zwischen K und A gehört. Die Klassen von 31 nach X — speziell
j0 — 36 — sind die Isomorphismen von S; sei A(jr) der Körper, in den
S durch übergeht; schließlich sei A VE für irgendzwei Körper A
und E zwischen K und E der Vereinigungskörper von A und E, d. h.
der kleinste A und E umfassende Körper.
Satz 3: Inzidiert die Klasse von 31 nach 33 mit der Klasse f „
von 31 nach $(3l), d. h. ist ihr Durchschnitt nicht leer, so ist:
Wir beweisen zunächst:
(1) A(33-ß(3I)) = M(33) V A(£(3l)).
Da .4 (33) gegenüber SB, A(^(3l)) gegenüber $(3l) invariant ist, so
ist A(3B) V 4L($(3l)) == A(5D), wo die gemäß (ZK) zu A(S>) zu-
gehörige Untermischgruppe von 31 ist, gegenüber 33r'$(3l) invariant;
d. h. wegen (ZK) ist 33r'^(3I) oder
(la) A(®)< 4(53^(31))-
Andererseits bleibt bei 3) sowohl 4(33) als auch 4(ß(3l)) element-
weise invariant, da A (SB) < 4(;£)) und 4($(3l))< 4(2)) ist; wegen (ZK)
muß also 2) < 33 und 2) <) $(3I), d. h. 2) <( 33^61(31; oder
(lb) A(2))^A(3B-^(3l))
sein. Aus (la) und (lb) folgt aber (1).
Da nicht leer ist, so gibt es wegen der Transitivität von G
eine kongruente Abbildung aeG, welche 38 ^$(31) in überführt
also 33 in fi(, und $(3l) in
b Es gilt die allgemeine Tatsache: dem Durchschnitt von Gruppen ent-
spricht der Vereinigungskörper der zugehörigen Körper, da ja der Durchschnitt
von Abgeschlossenem wieder abgeschlossen ist, der Vereinigungsgruppe, wenn
sie abgeschlossen ist, der Durchschnittskörper.