Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Beiträge zur Galois sehen Theorie. 9
a, als Automorphismus von E aufgefaßt, bewirkt also, daß
in ^(23) in A (K) und -4($(3I)) in über-
geht, woraus zusammen mit (1) unser Satz folgt.
Zusatz: Es ist ! | der Durchschnitt aller Afbv ^J/z) für alle
die für die br^f/f nicht leer ist.
Wir beweisen dies zunächst für A(33): seiA(S)) der Durchschnitt
aller in Frage kommenden ^(33^1^); hierbei ist wieder die gemäß
(ZK) zu A($D) zugehörige Untermischgruppe von 31. Dann ist
(2 a) A(53)<A(S)) oder £><^53.
Denn nach Satz 3 ist stets A(33) A(3B^ tu) — A(33) V A(fr).
Andererseits ist nach seiner Definition A(©) auch bei allen 3B 0
invariant, also auch gegenüber ihrer Vereinigungsmenge, die gerade
33 ist. Also ist 33 <( ÜD oder
(2 b) A(33)>A(£)).
Aus (2a) und(2b) folgt: A (53)= A(£)). Ebenso zeigt man unseren
Zusatz für A($(3I)). Aus den Spezialfällen folgt aber der allgemeine
Zusatz ebenso wie der Satz 3 aus (1). —
Sei jetzt A/( der zu A = Ao konjugierte Körper, der gemäß IIb
des § 1 zur Klasse von 31 nach $(3l) = Io gehört.
Satz 4: Dann und mir dann kann man gleichzeitig A in A/t
über führ en und in B den Isomorphismus br induzieren, wenn und
bP inzidieren, d. h. bP nicht leer ist.
Denn dann und nur dann gibt es einen Isomorphismus von A,
der A in A/( überführt und den Isomorphismus bp von B induziert,
wenn f,( bP nicht leer ist, wie die Betrachtung von G zeigt. Speziell
folgt daraus der
Zusatz 1: Dann und nur dann ist der Isomorphismus bp von B
zu einem Automorphismus von A, kurz in A erweiterungsfähig, wenn
br und ß(3l) inzidieren.
Zusatz 2: Ist speziell Afl zu A auch hinsichtlich B konjugiert,
so ist der Isomorphismus b„ von B dann und nur dann sowohl in A
als auch in Afl erweiterungsfähig, wenn b(, sowohl mit $(3l) als auch
mit L inzidiert.
Unter unseren Voraussetzungen inzidiert f,, mit 33; es gibt also
einen Automorphismus a„eG, der B elementweise invariant läßt und
A in A,( überführt. Sei b;, derart, daß A in sich übergeht und in B