Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

10 Reinhold Baer:
der Isomorphismus b(, induziert wird. Dann liefert a„_1bi, a/t einen
Automorphismus von A/t, der induziert und
a/t = a/z (a/< 1^>raJi<)
führt A in Au über und induziert in B den Isomorphismus b;,. Jetzt
folgt der Zusatz 2 aus Satz 4.
Definition 1: Bin Körper B zwischen K und A heißt 1. Art unter A,
wenn er bei allen Automorphismen von A elementweise invariant bleibt.
Satz 5: Dann und nur dann ist B 1. Art unter A, wenn die
zugehörige Misch gruppe SB 1. Art in 21 ist.
Denn dann und nur dann bleibt B bei allen Automorphismen
von A invariant, wenn SB^ $(2X) = $(2I) ist.
Definition 2: Ein Körper B zwischen K und A heißt einfach
unter A, wenn es keinen Körper zwischen K und B gibt, der 1. Art
unter A ist.
Satz 6: Dann und nur dann ist B einfach unter A, wenn die
in G realisierte Zerlegung von 51 nach SB einfach ist.
Eine Zerlegung von 21 nach SB ist dann und nur dann einfach,
wenn es keine Untermischgruppe 1. Art von 21 gibt, die SB umfaßt,
und die bei kongruenten Abbildungen entweder in sich oder in ein
fremdes System übergeht. Also folgt aus Satz 1 und Satz 5 unser Satz.
Satz 7: Zu jedem Körper B zwischen K und A gibt es einen und
nur einen Körper K zwischen K und B, so daß
1. K l. Art unter A ist und
2. als Körper über Ko betrachtet, B unter A einfach ist.
Dies folgt aus Satz 1, Satz 5 und 6, sowie aus Satz 1 des § 3 von
Mz. — TT ist der größte Körper 1. Art unter A, welcher zwischen K
und B liegt.
Definition 3: Ein unter A [einfacher] Körper B heißt 2. Art
unter A, ivenn jeder Isomorphismus von B in A erweiterungsfähig ist.
Satz 8: Dann und nur dann ist B 2. Art unter A, ivenn SB
2. Art unter 21 ist.
Folgt aus Zusatz 1 des Satz» 4 und Definition 3 des § 3 von Mz.
Definition 4: Ein unter A einfacher Körper B heißt 3. Art unter A,
wenn ein Isomorphismus von B, der in allen zu A rücksichtlich B
konjugierten Körpern erweiterungsfähig ist, notwendig der identische
Isomorphismus ist.