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https://doi.org/10.11588/diglit.43556#0014
u
Reinhold Baer:
in A/f und in Av unter elementweiser Invarianthaltung von A über-
fuhren können; hierbei müssen also A ^A.r und A^A„ elementweise
nvariant bleiben und also beide in Av und in Al( enthalten sein, d. h.
A'-'Aj.A-A'-'An und A^AII^A^AV, also A Av = A A/t.
Hieraus und aus Bedingung 1. des Satz 1 folgt (1).
(2) Zu jedem asG gibt es Elemente aieG (i = 1,2), so daß jedes ai
wenigstens einen zu A konjugierten Körper elementweise invariant läßt
und a = a1 • a2 ist.
Sei ein Automorphismus, der für A denselben Isomorphismus wie
a induziert, aber den Körper Ar, in den A bei a übergeht, in A über-
führt, und die übrigen Körper elementweise invariant läßt. Solch ein
a1 gibt es wegen Satz 1 in G.
Da es n. V. und II b des § 1 mindestens zwei von A verschiedene,
zu A konjugierte Körper gibt, so genügt auch a2 — a^a den Be-
dingungen von (2).
Aus (2) folgt aber, daß A bei allen Automorphismen aus G element-
weise invariant bleiben muß, da dies für a, und a2 gilt. Dann folgt
aber aus Ib des § 1, daß A = K der zu G zugehörige Körper zwischen
K und r ist.
Satz 3: Ist 3l/$(3I) | zweielementig x) und A frei, so ist der zu
<$(31) zugehörige Körper* 2'):
A =A~AX;
er ist quadratisch über K und also normal über K
A ist normal über A (<$(31)).
Da 31 /,$ (31) || zweielementig ist, ist A(<$(3I))nur zweier Isomor-
phismen fähig. Nach dem Dedekind sehen Satze von der Gleichheit von
Abbildungsgrad und Basisgrad3) folgt also, daß A (<$(31)) quadratisch
über K ist. Daß A normal über A (,$(31)) ist, folgt aus Satz 2 des § 2.
Wegen Zusatz 1 und 2 des Satz 1 läßt sich jeder Automorphismus
von A unter elementweiser Invarianthaltung von Ax ausführen; also
bleibt A^AX bei allen Automorphismen von A invariant; es ist
AAAr<A ($(3l)).
Aus Satz 2 des § 2 folgt auch, daß A (<$(3l)) dA ist. Da schließlich
A (<$ (31)) normal über K ist, geht er stets, also auch, wenn A in Ax
übergeht, in sich über,- also ist A (<$(3l)) < A1; hieraus folgt
A (<$(30) g
nach obigem also die Gleichheit.
b d. h. die singuläre Mischgruppe.
2) Seine Existenz folgt schon aus dem Zusatz zu Satz 2 des § 2.
3) cf. R. Dedekind in Dirichlet: Vorlesungen über Zahlentheorie. 4. Aufl.
(1894), Supplement XL
Reinhold Baer:
in A/f und in Av unter elementweiser Invarianthaltung von A über-
fuhren können; hierbei müssen also A ^A.r und A^A„ elementweise
nvariant bleiben und also beide in Av und in Al( enthalten sein, d. h.
A'-'Aj.A-A'-'An und A^AII^A^AV, also A Av = A A/t.
Hieraus und aus Bedingung 1. des Satz 1 folgt (1).
(2) Zu jedem asG gibt es Elemente aieG (i = 1,2), so daß jedes ai
wenigstens einen zu A konjugierten Körper elementweise invariant läßt
und a = a1 • a2 ist.
Sei ein Automorphismus, der für A denselben Isomorphismus wie
a induziert, aber den Körper Ar, in den A bei a übergeht, in A über-
führt, und die übrigen Körper elementweise invariant läßt. Solch ein
a1 gibt es wegen Satz 1 in G.
Da es n. V. und II b des § 1 mindestens zwei von A verschiedene,
zu A konjugierte Körper gibt, so genügt auch a2 — a^a den Be-
dingungen von (2).
Aus (2) folgt aber, daß A bei allen Automorphismen aus G element-
weise invariant bleiben muß, da dies für a, und a2 gilt. Dann folgt
aber aus Ib des § 1, daß A = K der zu G zugehörige Körper zwischen
K und r ist.
Satz 3: Ist 3l/$(3I) | zweielementig x) und A frei, so ist der zu
<$(31) zugehörige Körper* 2'):
A =A~AX;
er ist quadratisch über K und also normal über K
A ist normal über A (<$(31)).
Da 31 /,$ (31) || zweielementig ist, ist A(<$(3I))nur zweier Isomor-
phismen fähig. Nach dem Dedekind sehen Satze von der Gleichheit von
Abbildungsgrad und Basisgrad3) folgt also, daß A (<$(31)) quadratisch
über K ist. Daß A normal über A (,$(31)) ist, folgt aus Satz 2 des § 2.
Wegen Zusatz 1 und 2 des Satz 1 läßt sich jeder Automorphismus
von A unter elementweiser Invarianthaltung von Ax ausführen; also
bleibt A^AX bei allen Automorphismen von A invariant; es ist
AAAr<A ($(3l)).
Aus Satz 2 des § 2 folgt auch, daß A (<$(3l)) dA ist. Da schließlich
A (<$ (31)) normal über K ist, geht er stets, also auch, wenn A in Ax
übergeht, in sich über,- also ist A (<$(3l)) < A1; hieraus folgt
A (<$(30) g
nach obigem also die Gleichheit.
b d. h. die singuläre Mischgruppe.
2) Seine Existenz folgt schon aus dem Zusatz zu Satz 2 des § 2.
3) cf. R. Dedekind in Dirichlet: Vorlesungen über Zahlentheorie. 4. Aufl.
(1894), Supplement XL