Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Beiträge zur Galoissehen Theorie.

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jugierter Körper enthält. Ein Automorphismus von 7'(/<<A), bei
dem zu A über K konjugierte Körper nur in ähnliche Körper über-
gehen, induziert also auch nur Automorphismen der Av [über 7\7T< 7?)].
Jetzt folgt aus Satz 5 und Definition 3, daß F(7<<7?) zwischen K
und A hypernormal ist.
B. Sind umgekehrt die Bedingungen des Satzes 5 a erfüllt, so
folgt aus 1., daß die Bedingungen des Satzes 5 für die zu A ähnlichen
Körper erfüllt sind; aus 2. folgt aber die Allgemeingültigkeit durch
analoge Betrachtungen wie im 2. Abschnitt von A.
Satz 6: Dann und nur dann ist H zwischen K und zl hyper-
normal, wenn
1. für zwei verschiedene zu A über K konjugierte Körper Av, A/x
gilt: Av^ A^ = H,
2. ein in K irreduzibles Polynom f(x), das in A, aber nicht in II
Nullstellen hat, in H in eine Pwihe in H irreduzibler Faktoren zer-
fällt: f (x) = 77g. (x), so daß gj(x) in A entweder irreduzibel bleibt oder
in Linearfaktoren zerfällt.

A. Sei 77 zwischen K und A hypernormal. Dann ist jeder Auto-
morphismus von Av über 77 unter gleichzeitigem elementweisem In-
varianthalten von AaFAv ausführbar; also bleibt Av^A/t bei allen
Automorphismen von Av über 77 ebenfalls elementweise invariant;
wegen la des § 1 ist also AV^A/. = 77.
Besitzt weiter das in K irreduzible Polynom f(x) zwar in A, aber

nicht in 77 Nullstellen und ist f(x) = 77g. (x), wo die gj(x) in 77 irredu-
zibel seien, dann zerfällt g.(x) in A in Linearfaktoren, wenn es über-
haupt eine Nullstelle in A besitzt.

Habe also gj(x) in A keine Nullstellen und seien <p und a2 zwei
Nullstellen von g. (x); dann gibt es wegen I des § 1 ein Av, dem beide
m (i = 1, 2) angehören, da Av über 77 normal ist. Ebenfalls wegen I
von § 1 gibt es dann einen Automorphismus von Av über 77, bei dem
ax in r/2 übergeht; da aber 77 zwischen K und A hypernormal ist, so
muß sich dieser Automorphismus von Av unter gleichzeitigem element-
weisem Invariantlassen von A ausführen lassen; daraus folgt aber
wegen I des § 1, daß g.(x) in A irreduzibel ist.
B. Seien die Bedingungen 1., 2. des Satzes 6 erfüllt. Dann folgt
aus 2., daß ein in 77 irreduzibles Polynom in A dann und nur dann
Nullstellen hat, wenn es in A in Linearfaktoren zerfällt, d. h. A und
also jedes Av ist über 77 normal.
Weiter ist die Bedingung 2. auch für jedes Av erfüllt, da durch
einen Isomorphismus A in Av und 77 in sich übergeführt werden kann.