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https://doi.org/10.11588/diglit.43556#0022
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Reinhold Baer: Beiträge zur Galoissehen Theorie.
Sinei also a± und a2 irgendzwei Elemente von die durch einen
Automorphismus von über H ineinander (o^ in ot2) übergeführt
werden können, so folgt aus I des § 1, daß dies auch unter element-
weisem Invarianthalten aller übrigen Av ausgeführt werden kann, da
ja wegen 1. ein g (x) nur in einem Av in Linearfaktoren zerfallen kann.
Hieraus schließt man in üblicher Weise [ev. unter Benutzung transfiniter
Induktion], daß auch die Bedingung 2. der Definition 3. erfüllt ist.
Zusatz 1: Ist H zwischen K und A hypernormal, so gibt es mir
endlich viele über K zu A konjugierte Körper; ist n ihre Anzahl, so
ist der Grad jeder in K irreduziblen Gleichung, die in A, aber nicht
in H Nullstellen hat, ein Vielfaches von n.
Sei f(x) = 77g. (x) ein in Zv irreduzibles Polynom, das in A, aber
nicht in H Nullstellen hat. Dann hat wegen Satz 6 ein jedes g. (x)
seine sämtlichen Nullstellen in einem und nur in einem Av und durch
diese Zuordnung werden jedem Av solche g. (x) zugeordnet. Weiter
folgt hieraus und aus Satz 6,1, daß die Nullstellen von f(x) in genau n
gleichgroße, untereinander fremde Systeme eingeteilt werden können,
so daß zwischen den Systemen und den zl,, eine eineindeutige Zuordnung
besteht, so daß jedes System in dem zugeordneten Av enthalten ist.
Satz 7: Ist B 2. Art und frei unter A, so ist
1. die Zahl der zu A über K konjugierten Körper endlich,
2. Av^A/t = IjK<üB), wenn Av, A,, nicht ähnlich sind.
3. Sind Av und A)L ähnlich und ist Av f^A^, so ist
aj Av Af, = K (77 < B'), wenn die Zahl der Elemente einer
Klasse ähnlicher Körper 2 ist,
bj AV^AU quadratisch über EfK^B), wenn die Zahl der
Elemente einer Klasse ähnlicher Körper = 2 ist.
Aus Satz 5 a und 6 sowie aus Satz 6 des § 3 folgt 1. 2. folgt
aus Satz 5 a, 2 und Satz 6. Schließlich folgt 3. aus Satz 5 a, 1 und
den Sätzen 2, 3 des § 2.
Auf zwei Spezialfälle sei noch hingewiesen:
1. ist die Zahl der Elemente einer Klasse ähnlicher Körper = 1,
so ist A = A über E (K<2 B} normal.
2. ist im Sinne des Satz 13, 4 des § 2 C — K, so ist B
dann und nur dann frei unter A, wenn A sogar frei über 7>)
ist [unter AJ.
Reinhold Baer: Beiträge zur Galoissehen Theorie.
Sinei also a± und a2 irgendzwei Elemente von die durch einen
Automorphismus von über H ineinander (o^ in ot2) übergeführt
werden können, so folgt aus I des § 1, daß dies auch unter element-
weisem Invarianthalten aller übrigen Av ausgeführt werden kann, da
ja wegen 1. ein g (x) nur in einem Av in Linearfaktoren zerfallen kann.
Hieraus schließt man in üblicher Weise [ev. unter Benutzung transfiniter
Induktion], daß auch die Bedingung 2. der Definition 3. erfüllt ist.
Zusatz 1: Ist H zwischen K und A hypernormal, so gibt es mir
endlich viele über K zu A konjugierte Körper; ist n ihre Anzahl, so
ist der Grad jeder in K irreduziblen Gleichung, die in A, aber nicht
in H Nullstellen hat, ein Vielfaches von n.
Sei f(x) = 77g. (x) ein in Zv irreduzibles Polynom, das in A, aber
nicht in H Nullstellen hat. Dann hat wegen Satz 6 ein jedes g. (x)
seine sämtlichen Nullstellen in einem und nur in einem Av und durch
diese Zuordnung werden jedem Av solche g. (x) zugeordnet. Weiter
folgt hieraus und aus Satz 6,1, daß die Nullstellen von f(x) in genau n
gleichgroße, untereinander fremde Systeme eingeteilt werden können,
so daß zwischen den Systemen und den zl,, eine eineindeutige Zuordnung
besteht, so daß jedes System in dem zugeordneten Av enthalten ist.
Satz 7: Ist B 2. Art und frei unter A, so ist
1. die Zahl der zu A über K konjugierten Körper endlich,
2. Av^A/t = IjK<üB), wenn Av, A,, nicht ähnlich sind.
3. Sind Av und A)L ähnlich und ist Av f^A^, so ist
aj Av Af, = K (77 < B'), wenn die Zahl der Elemente einer
Klasse ähnlicher Körper 2 ist,
bj AV^AU quadratisch über EfK^B), wenn die Zahl der
Elemente einer Klasse ähnlicher Körper = 2 ist.
Aus Satz 5 a und 6 sowie aus Satz 6 des § 3 folgt 1. 2. folgt
aus Satz 5 a, 2 und Satz 6. Schließlich folgt 3. aus Satz 5 a, 1 und
den Sätzen 2, 3 des § 2.
Auf zwei Spezialfälle sei noch hingewiesen:
1. ist die Zahl der Elemente einer Klasse ähnlicher Körper = 1,
so ist A = A über E (K<2 B} normal.
2. ist im Sinne des Satz 13, 4 des § 2 C — K, so ist B
dann und nur dann frei unter A, wenn A sogar frei über 7>)
ist [unter AJ.