Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Max Schneidt:

Also kommt für t = t (u, v) die Differentialgleichung:
*=t _.
a“ '
v tritt als Integrationskonstante auf.
Man kann ein partikuläres Integral t = q (m) willkürlich annehmen,
wodurch die Funktion U bestimmt wird; es darf also eine Kurve vor-
geschrieben werden, die die gesuchte Schar enthalten soll. Man bemerkt
aber, daß für U eine quadratische Gleichung auftritt, aus der zwei
Werte Ur und U2, demnach auch zwei Kurvenscharen folgen, die die
Kurve t — q (w) gemeinsam haben.
Dieser Umstand erklärt sich daraus, daß das System ohne Um-
wege u — Const v = Const erst dann eindeutig festgelegt ist, wenn auf
der Kurve t = q (u) die positive Fortschreitungsrichtung gewählt ist.
Wenn wir annehmen, daß das Ausgangssystem u — Const, t— Const
schon ohne Umwege ist, so wird
und die Differentialgleichung für t hat die Form:
2 • G • I [F-- Veg - Ku • U] = U (2 Ve-y U).
In diesem Fall kann speziell eine Kurve t = a, 0 der Schar
t — Const als partikuläres Integral gewählt werden.

§ 2. Diskussion eines Beispiels.
Bezugnehmend auf die letzten Zeilen des § 1 soll folgendes Bei-
spiel betrachtet werden:
In der Ebene bilden die Tangenten des Einheitskreises um den
Anfangspunkt x2 + y2 — 1=0 ein Kurvennetz ohne Umwege. Es
soll die Kurvenschar gesucht werden, die mit den Kreistangenten ohne
Umwege ist und eine der Tangenten (x — 1 = 0) enthält.
Die Schar der Tangenten werde in der Form dargestellt:
cos (u — t) sin (m — i)
cos (a -|- t) ’ V cos (u 4- i) ’
Es wird:
erö) ■ IV + 1 - 2 C cos 2 („ + /)] = 2 (£+* . / J2.
y = —1_t *
\dvj cos4 (w-j-t) 2 ’