Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Max Schneidt:

kulären Integrals wird dann nicht nur U festgelegt, sondern die
Gleichung auch integrabel.
Speziell ist die Leitkurve selbst in der gesuchten Schar enthalten,
wenn man t/= + F 2 nimmt.
Bekanntlich ist die zweite Schar von Asymptotenlinien auf Regel-
flächen durch eine RicCATisehe Differentialgleichung bestimmt. Es
liegt daher nahe, diese Diff. Gl. mit der für die Kurven ohne Umwege
in Beziehung zu setzen, um dadurch zu Regelflächen mit Asympto-
tenlinien ohne Umwege zu gelangen.
Die Differentialgleichung der Asymptotenlinien entwickeln wir
durch den Ansatz:

tZ/ p tX'
.Vi ,V2

«11
.Vn
Ul

= 0, wobei

U = | = u+^i+^,
xi i = |^2= Ui + Z, G -\-lL i t --- l-tr i ;

Entsprechend für y und z.
Es wird: +
+ ^‘ {i] + LM i]j + ^2‘ IA i] = o,
indem diese abkürzenden Bezeichnungen für die Determinanten ge-
stattet seien.
Zur Vereinfachung werde nun der Parameter u als Bogenlänge s
auf der Leitkurve angenommen, so daß — 1 wird und
die Richtungskosinus der Tangente der Leitkurve darstellen. Außer-
dem werde die betrachtete Regelfläche auf geometrisch anschauliche
Weise dadurch festgelegt, daß ihre Erzeugenden Normalen der Leit-
kurve sein sollen, unter Einführung des Winkels e, den die Erzeugen-
den mit den Binormalen der Leitkurve bilden. Diese Annahme be-
deutet keine Einschränkung, da wir auf jeder Regelfläche eiue ortho-
gonale Trajektorie der Erzeugenden als Leitkurve wählen können.
Es seien q und r der Krümmungs- bzw. Torsionsradius, a, ß, y
die Richtungskosinus der Binormalen, 2, y, v die der Hauptnormalen
der Leitkurve; dann wird die Darstellung der Regelfläche:
x = 9?(u) + t ■ (a cos e + 2 sin e)
y = iy (u) -j- t • (ß cos e + /x sin e)
0 = Z (M) 4-1 • (y cos £ + r sin £)-