Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Kurvennetze ohne Umwege.

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Also folgen unendlich viele algebraische Kurven v = Const, wenn
2 f)
—-— rational, speziell ganzzahlig wird,
p a- — &2

Die einfachsten Fälle sind:

1.
oder:
2.
oder:
3.
oder:


2 = 1; a = b Jö; tg u = -
J/«2—b2 ’ ’ J x

2t_.
|/z & • y

4 x{ 4- 9 x2 y2 + 5 — 5 b2 y2 = 0. (4. Grades)

2& _ 9.


a=b V2; K 2 • G |

(x2 +y2) [2 62
26 _ 1.
ya - — b2 2 ’

— 3 (x2 + y2)]2 = x2 (2 b2 — x2 — «z2)2;

a = b

’ EH
4

(6. Grades)

tg 2 u -

t

|foö2- t2

4 (x2 + y2) (x2 — y2)2 = 17 x2 y2 (b2 — x2 — y2); (6. Grades)
[x2 -i- y2 foz2 = b2]

§ 5. Bemerkung Uber dreifachunendliche Flächenscharen
mit der „Divergenz" Null.

Die rechtwinkligen Koordinaten seien durch die Parameter u, v, w
der drei Flächenscharen dargestellt vermöge der Gleichungen
x = x (u, v, w) y = y (u, v, zc) z = z (u, v, w).
Dann lautet die Forderung:



y~yEv Ew — Fcw2 i d | Eu Ew — Fuw2 > Eu Ev— E'uv2 n
d't 1 do 1 dw ’

2

wobei: Eh —

Fuv = + + usw.
zfoör 1 du do ' du do

Die obige Forderung 1) sagt aus, daß in jeder 6 seifigen räumlichen
Zelle mit den „Aufpunkten“ 0 und 0' die Summe der 3 bei 0 zu-
sammenstoßenden Flächen gleich ist der Summe der 3 bei 0' zusammen-
stoßenden Flächen; 2) läßt eine einfache physikalische Deutung zu,
wenn man die Flächen als semipermeable Membranen betrachtet. Wenn
eine Flüssigkeit durch die Flächen hindurchdiffundiert, bleibt in jeder
Zelle die einmal enthaltene Menge gleich. (Daher „Divergenz“ Null.)
Die Aufstellung von Flächensystemen der gewünschten Art geht
wieder nach der Methode des § 1 vor sich. Man gibt 2 Scharen
«—-Const v Const und bestimmt die 3te Schar t = Const dazu,
indem man w = w(yu, v, Z) setzt.

Für w kommt dann eine Differentialgleichung der Form:
A • + 2 B -y 2 c\-- + D = 0 ;
du dv du do