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https://doi.org/10.11588/diglit.43559#0012
12
Max Schneidt :
Also ist ein Breitenkreis t — a ausnahmsweise neben der Schar v = Const
enthalten. Das nachfolgende Beispiel zeigt nebenbei, daß dieser Breiten-
kreis nicht auf der Rotationsfläche liegen muß!
Das Integral J kann auf eine'Gleichung t = t (u Q v) führen, die
in x und y algebraisch ist. Die Rechnung zeigt leicht, daß dies z. B.
eintritt für die Rotationsflächen von konstantem Krümmungsmaß K,
für die / = = |
stauten C und K.
der (einzigen) algebraischen Fläche dieser Art Kurven v = Const finden,
die algebraisch sind.
Für die Kugel z
gilt, bei geeigneter Wahl der Kon-
Man kann also auf der Kugel z2-\-t2=b2, als
Es wird also t — t (u v);
Demnach lassen sich auf jeder Rotationsfläche durch Quadraten
Kurvenscharen (ohne Umwege mit den Meridianen) angeben, und zwar
entsteht jede solche Schar durch Rotation einer Kurve um die Z-Achse.
Das Integral J gibt, da t und u die Polarkoordinaten in der
X-F-Ebene sind, die endliche Gleichung der Projektion der Schar
v = Const in die X-F-Ebene (in Polarkoordinaten).
Außerdem erweist sich die Differentialgleichung
C = erfüllt durch t = a, t. — 0:
J O „ I / 1 I . 7 9 1 7
t .
t2 kommt, wenn a^>bl,
dt
(a* — r2) y&2 _£2
2B „ , y«2 _b2
= — - arc tq --
Van- — b2 J a
Die gewünschten Kurven v = Const werden wieder erhalten aus
wobei sich für t die Differentialgleichung einstellt:
(72
'1 ~ 3« = - 2 Z7yi+/2’
In einigen Fällen führt diese Diff. Gl. für jedes beliebige U auf Qua-
draturen. Dies ist beim Kreiskegel und bei der Pseudosphäre der
Fall. Auf diesen Flächen lassen sich also ausnahmsweise alle Kurven-
scharen, die mit der Schar der Meridiane ohne Umwege sind, durch
Quadraturen angeben.
Wählt man andererseits U = — a = Const, so wird
«2-^2
c, =-r - woraus folgt:
+ 2a|/l + /2, & ■
Max Schneidt :
Also ist ein Breitenkreis t — a ausnahmsweise neben der Schar v = Const
enthalten. Das nachfolgende Beispiel zeigt nebenbei, daß dieser Breiten-
kreis nicht auf der Rotationsfläche liegen muß!
Das Integral J kann auf eine'Gleichung t = t (u Q v) führen, die
in x und y algebraisch ist. Die Rechnung zeigt leicht, daß dies z. B.
eintritt für die Rotationsflächen von konstantem Krümmungsmaß K,
für die / = = |
stauten C und K.
der (einzigen) algebraischen Fläche dieser Art Kurven v = Const finden,
die algebraisch sind.
Für die Kugel z
gilt, bei geeigneter Wahl der Kon-
Man kann also auf der Kugel z2-\-t2=b2, als
Es wird also t — t (u v);
Demnach lassen sich auf jeder Rotationsfläche durch Quadraten
Kurvenscharen (ohne Umwege mit den Meridianen) angeben, und zwar
entsteht jede solche Schar durch Rotation einer Kurve um die Z-Achse.
Das Integral J gibt, da t und u die Polarkoordinaten in der
X-F-Ebene sind, die endliche Gleichung der Projektion der Schar
v = Const in die X-F-Ebene (in Polarkoordinaten).
Außerdem erweist sich die Differentialgleichung
C = erfüllt durch t = a, t. — 0:
J O „ I / 1 I . 7 9 1 7
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Van- — b2 J a
Die gewünschten Kurven v = Const werden wieder erhalten aus
wobei sich für t die Differentialgleichung einstellt:
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In einigen Fällen führt diese Diff. Gl. für jedes beliebige U auf Qua-
draturen. Dies ist beim Kreiskegel und bei der Pseudosphäre der
Fall. Auf diesen Flächen lassen sich also ausnahmsweise alle Kurven-
scharen, die mit der Schar der Meridiane ohne Umwege sind, durch
Quadraturen angeben.
Wählt man andererseits U = — a = Const, so wird
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c, =-r - woraus folgt:
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