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https://doi.org/10.11588/diglit.43546#0003
Zur Einordnung der Theorie der Mischgruppen
in die Gruppentheorie.
Einleitung.
In seiner Abhandlung: „Über abstrakt definierte Transmutations-
systeme oder Mischgruppen“1) hat Herr A. Loewy denBegriff der Misch-
gruppe eingeführt; diese ist dadurch charakterisiert, daß nur ein Teil
ihrer Elemente, der sog. Kern, Gruppeneigenschaft hat, während die
übrigen Elemente nur mit denen des Kerns — und zwar rechtshändig —
komponiert werden können.
Jede Zerlegung einer Gruppe nach einer Untergruppe liefert eine
Mischgruppe; umgekehrt läßt sich zeigen, daß jede Mischgruppe — mit
Ausnahme der singulären Mischgruppe, die aus zwei Elementen, deren
Kern sogar nur aus der Identität besteht — sich in wenigstens einer
Weise als System der Restklassen oder Nebengruppen einer Gruppe nach
einer Untergruppe darstellen läßt.2) Diese Darstellung ist jedoch im
allgemeinen nicht eindeutig. Es stellt sich die Frage, welche Gruppen
bei Zerlegung nach einer geeigneten Untergruppe die gleiche vorgegebene
Mischgruppe dar stellen3).
Das fundamentale Hilfsmittel für diese Untersuchung wird uns der
Begriff der ähnlichen Abbildung sein. Dies sind eineindeutige Abbildungen
der Mischgruppe auf sich, bei denen Elementepaare, die sich nur um ein
Kernelement unterscheiden, in Elementepaare übergehen, die sich um
das gleiche Kernelement unterscheiden wie das Ausgangspaar. Eine ähn-
liche Abbildung bestimmt immer ein Mischgruppenelement, nämlich
das, in das sie die Identität überführt. Zerlegen wir jetzt die Gruppe M
aller ähnlichen Abbildungen der [nicht singulären] Mischgruppe W auf
sich nach der Untergruppe E der ähnlichen Abbildungen, die die Identität
in sich überführen, so erhalten wir die Mischgruppe ÜR. Mehr noch:
*) cf. A. Loewy : Journal f. d. reine u. angewandte Mathematik Bd. 157
(1927) p. 239- 254, im folgenden mit L. zitiert. H. BRANDT: Math. Annalen Bd. 96
(1927) p. 360—366. F. K. SCHMIDT: Sitz.-Ber. d. Heidelberger Akad. 1927. Math.-
nat. Kl. (8) p. 91 —103.
2) cf. L. p. 247 und p. 252 (Satz 3).
3) Die Frage nach den Untergruppen einer Gruppe läßt sich entsprechend
als Frage nach den durch diese Gruppe darstellbaren Mischgruppen interpretieren.
1*
in die Gruppentheorie.
Einleitung.
In seiner Abhandlung: „Über abstrakt definierte Transmutations-
systeme oder Mischgruppen“1) hat Herr A. Loewy denBegriff der Misch-
gruppe eingeführt; diese ist dadurch charakterisiert, daß nur ein Teil
ihrer Elemente, der sog. Kern, Gruppeneigenschaft hat, während die
übrigen Elemente nur mit denen des Kerns — und zwar rechtshändig —
komponiert werden können.
Jede Zerlegung einer Gruppe nach einer Untergruppe liefert eine
Mischgruppe; umgekehrt läßt sich zeigen, daß jede Mischgruppe — mit
Ausnahme der singulären Mischgruppe, die aus zwei Elementen, deren
Kern sogar nur aus der Identität besteht — sich in wenigstens einer
Weise als System der Restklassen oder Nebengruppen einer Gruppe nach
einer Untergruppe darstellen läßt.2) Diese Darstellung ist jedoch im
allgemeinen nicht eindeutig. Es stellt sich die Frage, welche Gruppen
bei Zerlegung nach einer geeigneten Untergruppe die gleiche vorgegebene
Mischgruppe dar stellen3).
Das fundamentale Hilfsmittel für diese Untersuchung wird uns der
Begriff der ähnlichen Abbildung sein. Dies sind eineindeutige Abbildungen
der Mischgruppe auf sich, bei denen Elementepaare, die sich nur um ein
Kernelement unterscheiden, in Elementepaare übergehen, die sich um
das gleiche Kernelement unterscheiden wie das Ausgangspaar. Eine ähn-
liche Abbildung bestimmt immer ein Mischgruppenelement, nämlich
das, in das sie die Identität überführt. Zerlegen wir jetzt die Gruppe M
aller ähnlichen Abbildungen der [nicht singulären] Mischgruppe W auf
sich nach der Untergruppe E der ähnlichen Abbildungen, die die Identität
in sich überführen, so erhalten wir die Mischgruppe ÜR. Mehr noch:
*) cf. A. Loewy : Journal f. d. reine u. angewandte Mathematik Bd. 157
(1927) p. 239- 254, im folgenden mit L. zitiert. H. BRANDT: Math. Annalen Bd. 96
(1927) p. 360—366. F. K. SCHMIDT: Sitz.-Ber. d. Heidelberger Akad. 1927. Math.-
nat. Kl. (8) p. 91 —103.
2) cf. L. p. 247 und p. 252 (Satz 3).
3) Die Frage nach den Untergruppen einer Gruppe läßt sich entsprechend
als Frage nach den durch diese Gruppe darstellbaren Mischgruppen interpretieren.
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