Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Reinhold Baer:

jede Darstellung von 9k ist homomorph1) einer Untergruppe M* von
M; die Untergruppe, nach der zerlegt wird, wird hierbei dem Durchschnitt
M* E von M* und E zugeordnet.2) Ebenso finden alle — natürlich von
der singulären Mischgruppe verschiedenen — Untermischgruppen von
9k ihre sämtlichen gruppentheoretischen Darstellungen durch Unter-
gruppen von M. Umgekehrt kann man auch zeigen, daß alle Untergruppen
von M, die die Eigenschaft haben, Abbildungen zu enthalten, die zwar
den Kern invariant lassen, ein beliebig vorgegebenes anderes Mischgruppen-
element aber auf ein von ihm verschiedenes abbilden, die Mischgruppe
9k bzw. gewisse ihrer Untermischgruppen darstellen.
Vergleichen wir jetzt die ähnlichen und die isomorphen Abbildungen
von 9k auf sich miteinander, so zeigt sich, daß alle und nur die Abbil-
dungen aus E gleichzeitig ähnlich und isomorph sind; zerlegt man die
Gruppe aller Isomorphismen nach E, so erhält man die Isomorphismen-
gruppe des Kernes, während die Zerlegung der Gruppe aller ähnlichen
Abbildungen die Mischgruppe selbst lieferte. Weitere Zerlegungen von
E nach gewissen invarianten Untergruppen liefern den Kern und die
Gruppe aller eineindeutigen Abbildungen der vom Kern verschiedenen
Klassen der GALOIS sehen Zerlegung der Mischgruppe nach dem Kern.
Man kann aber auch die Isomorphismen der Mischgruppe erhalten,
wenn man die Isomorphismen der sie darstellenden Gruppen betrachtet.
Jeder Isomorphismus einer darstellenden Gruppe, bei der die Unter-
gruppe, nach der zerlegt wird, in sich übergeht, induziert einen Isomor-
phismus von 9k; umgekehrt wird jeder Isomorphismus der Mischgruppe
durch Isomorphismen der Gruppe aller ähnlichen Abbildungen, die E
in sich überführen, geliefert.
Im § 1 geben wir eine etwas sich von der LoEWYschen unterscheidende
Axiomatik des Begriffs der Mischgruppe; der wesentliche Unterschied ist
der, daß bei uns die Existenz der konjugierten Mischgruppen nicht mit
gefordert wird3), wir also nur die Mischgruppe, nicht das ganze Gruppoid
im Sinne von Herrn Brandt4) postulieren. Allerdings wird dann der
Begriff der Untermischgruppe einer gewissen Verschärfung bedürftig.
Schließlich stellen wir im § 1 die benötigten Grundtatsachen noch
einmal zusammen.
B Wir benutzen die Begriffe „isomorph“ wie „einstufig isomorph“ und
„homomorph“ wie „mehrstufig isomorph“, cf. A. LOEWY: Weber-Festschrift 1912
p. 198-227.
2) Wir benutzen als Zeichen für die Durchschnittsbildung zweier Mengen
A, B das Zeichen A WB, das in der Logistik für die Konjunktion zweier Klassen
gebraucht wird.
3) cf. L. Postulat 3 b p. 240 und Satz £, p. 243.
4) cf. die Literaturangaben von p. 3, Anm.1).