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https://doi.org/10.11588/diglit.43546#0005
Zur Einordnung der Theorie der Mischgruppen in die Gruppentheorie. 5
Bezeichnungen:
Ist A Untergruppe von B, so ist N (A < B) der Normalisator1) von
A in B; wenn A und B beliebige Untergruppen einer dritten Gruppe.sind,
so ist A B der Durchschnitt von A und B. Mischgruppen und deren Teil-
mengen werden mit großen deutschen Buchstaben: 9k, IX, ft, ' ' ", ihre
Elemente mit kleinen deutschen Buchstaben: a, b, J, f, u, ' • •, Ab-
bildungen mit kleinen lateinischen Buchstaben: a, x, • • \ Abbildungs-
gruppen mit großen lateinischen Buchstaben: M, U, J, • • • bezeichnet.
§ 1. Die Grundlagen.
Unter einer Mischgruppe 9k mit dem Kern ft verstehen wir eine
Menge 9k von Elementen, in der eine — im allgemeinen echte — Teilmenge
<ft ausgezeichnet ist, und zwischen deren Elementen eine Komposition
festgesetzt ist, die den folgenden Postulaten genügt:
I. ft ist eine Gruppe.
II. Sind a, b irgendzwei Elemente aus 9k, so entspricht ab dann und
nur dann ein ■— und, wenn überhaupt ein, dann auch nur ein — Ele-
ment aus 9k, wenn a Element aus ft ist.
Sind a und b Elemente aus ft, so folgt dies schon aus I. •— Weiter
folgt, daß a (b c) und (ab) c dann und nur dann gebildet werden können,
wenn a, b Elemente aus ft sind.
III. Sind a und b Elemente aus ft, so ist
(ab) c = a(b c) = ab c.
Ist auch c Element aus ft, so folgt III ebenfalls aus I.
Zunächst zeigen wir, daß unsere Postulats, voneinander unabhängig sind:
ad I: Es bestehe ft aus allen Elementen an für n o mit a11 h ßm für n h m,
9k aus den Elementen an, unb für n — 1, 2, ... und umb h un sowie anb amb für
n T Dann ist I sicher nicht erfüllt, dagegen II und III wegen an • am — un+rn
und an(amb) = un+mb.
ad II: Sei 9k irgendeine Gruppe, die wenigstens eine echte Untergruppe $
enthält; als Komposition für die Elemente von 9k sei die Gruppenkomposition
festgesetzt. Dann sind I und III, aber nicht II erfüllt.
ad III: Sei 9k = (1, a, b15 b2, • • •}, ft = {1, u) und a2 = 1, übj = &i + i,
bi T bk für i T k, bi 4= a und bi 1-
Dann sind die Postulate I, II erfüllt, aber III wegen u (übi) = dbj +1 = bj +2
und (aa) bi = 1 bi = bi h bi4-2 nicht.
Satz I : Ist ftft eine — echte oder unechte ■— Untergruppe von ft,
so genügt die Klasseneinteilung:
P cf. etwa A. Speiser: Theorie der Gruppen endlicher Ordnung; Berlin
1923, p. 38.
Bezeichnungen:
Ist A Untergruppe von B, so ist N (A < B) der Normalisator1) von
A in B; wenn A und B beliebige Untergruppen einer dritten Gruppe.sind,
so ist A B der Durchschnitt von A und B. Mischgruppen und deren Teil-
mengen werden mit großen deutschen Buchstaben: 9k, IX, ft, ' ' ", ihre
Elemente mit kleinen deutschen Buchstaben: a, b, J, f, u, ' • •, Ab-
bildungen mit kleinen lateinischen Buchstaben: a, x, • • \ Abbildungs-
gruppen mit großen lateinischen Buchstaben: M, U, J, • • • bezeichnet.
§ 1. Die Grundlagen.
Unter einer Mischgruppe 9k mit dem Kern ft verstehen wir eine
Menge 9k von Elementen, in der eine — im allgemeinen echte — Teilmenge
<ft ausgezeichnet ist, und zwischen deren Elementen eine Komposition
festgesetzt ist, die den folgenden Postulaten genügt:
I. ft ist eine Gruppe.
II. Sind a, b irgendzwei Elemente aus 9k, so entspricht ab dann und
nur dann ein ■— und, wenn überhaupt ein, dann auch nur ein — Ele-
ment aus 9k, wenn a Element aus ft ist.
Sind a und b Elemente aus ft, so folgt dies schon aus I. •— Weiter
folgt, daß a (b c) und (ab) c dann und nur dann gebildet werden können,
wenn a, b Elemente aus ft sind.
III. Sind a und b Elemente aus ft, so ist
(ab) c = a(b c) = ab c.
Ist auch c Element aus ft, so folgt III ebenfalls aus I.
Zunächst zeigen wir, daß unsere Postulats, voneinander unabhängig sind:
ad I: Es bestehe ft aus allen Elementen an für n o mit a11 h ßm für n h m,
9k aus den Elementen an, unb für n — 1, 2, ... und umb h un sowie anb amb für
n T Dann ist I sicher nicht erfüllt, dagegen II und III wegen an • am — un+rn
und an(amb) = un+mb.
ad II: Sei 9k irgendeine Gruppe, die wenigstens eine echte Untergruppe $
enthält; als Komposition für die Elemente von 9k sei die Gruppenkomposition
festgesetzt. Dann sind I und III, aber nicht II erfüllt.
ad III: Sei 9k = (1, a, b15 b2, • • •}, ft = {1, u) und a2 = 1, übj = &i + i,
bi T bk für i T k, bi 4= a und bi 1-
Dann sind die Postulate I, II erfüllt, aber III wegen u (übi) = dbj +1 = bj +2
und (aa) bi = 1 bi = bi h bi4-2 nicht.
Satz I : Ist ftft eine — echte oder unechte ■— Untergruppe von ft,
so genügt die Klasseneinteilung:
P cf. etwa A. Speiser: Theorie der Gruppen endlicher Ordnung; Berlin
1923, p. 38.