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https://doi.org/10.11588/diglit.43546#0006
6
Reinhold Baer :
zwei Elemente a und b aus 502 gehören dann und nur dann zur gleichen
Klasse nach äx, wenn a = t b ist, wo I Element aus äx ist;
den üblichen Postulaten; sie stellt die Zerlegung von 502 nach H’x dar.1)
1. Die Klasseneinteilung ist reflexiv, da a = la ist.
2. Ist a = f b, so ist wegen der Gruppeneigenschaft von äx mit f
auch. f_1 Element aus äx und es gilt: f“1 a = t”1 f &= b wegen I, II, III;
mithin ist die Klasseneinteilung symmetrisch.
3. Gehören a und b, b und c zur gleichen Klasse nach äx, so können
wir wegen 2 annehmen, daß: a = fx b, b = f2 c und G (i = 1, 2) Ele-
ment aus ä\ ist. Dann ist wegen III. aber:
a = tx (^2 c) = (*i u
da ä'x eine Gruppe ist, ist auch txG Element von äx; unsere Klassen-
einteilung ist also auch transitiv.
Zusatz: Ist a irgendein Element aus 502, so durchläuft t a alle
Elemente der Klasse nach äx, der a angehört, wenn f alle Elemente aus
äx durchläuft; wir können diese Klasse also auch ä’x a nennen.
Dies folgt ohne weiteres aus der Definition der Klasseneinteilung.
Satz 2 : Ist ä'x eine Untergruppe von ä, N (äx < ä) der Normali-
sator von äx in ä und || 502 / ä'x || das System der Klassen von 502 nach
äx, so ist || 502 / ä’x || eine Mischgruppe, und zwar ist —
wenn man die Komposition der Klassen durch Komposition der
Elemente definiert ■—
der Kern von || 502 / ä'x || das System der in N (äx < ä) enthaltenen
Klassen nach äx.2)
Seien äx ax und ä\ a2 irgendzwei Klassen von 502 nach äx. Um
(ä'i ax) (ä2 a2) bilden zu können, muß aber äx ax in ä enthalten sein.
Es soll aber überdies dies Produkt zweier Klassen gleich einer eindeutig
bestimmten Klasse: äx aX2 sein. Da äx Oj (i = 1, 2) u.a. auch ax ent-
halten muß, so muß äx a12 u.a. auch a1a2 enthalten; es muß also:
(äx ax) (äx a2) = äx ax a2 sein. Da äx äx = äx ist, so muß also ax
mit äx vertauschbar sein, d. h. ax muß N (äx < ä) angehören. Dies ist
aber für die Möglichkeit der Komposition auch hinreichend. Es gilt also
der
Zusatz: Ist äx u eine Klasse aus N (äx < ä) und äx a eine be-
liebige Klasse, so ist:
(äx n) (äx a) = äxna.2)
!) cf. L. § 3 p. 246/247.
2) cf. L. § 3 Satz p. 247.
Reinhold Baer :
zwei Elemente a und b aus 502 gehören dann und nur dann zur gleichen
Klasse nach äx, wenn a = t b ist, wo I Element aus äx ist;
den üblichen Postulaten; sie stellt die Zerlegung von 502 nach H’x dar.1)
1. Die Klasseneinteilung ist reflexiv, da a = la ist.
2. Ist a = f b, so ist wegen der Gruppeneigenschaft von äx mit f
auch. f_1 Element aus äx und es gilt: f“1 a = t”1 f &= b wegen I, II, III;
mithin ist die Klasseneinteilung symmetrisch.
3. Gehören a und b, b und c zur gleichen Klasse nach äx, so können
wir wegen 2 annehmen, daß: a = fx b, b = f2 c und G (i = 1, 2) Ele-
ment aus ä\ ist. Dann ist wegen III. aber:
a = tx (^2 c) = (*i u
da ä'x eine Gruppe ist, ist auch txG Element von äx; unsere Klassen-
einteilung ist also auch transitiv.
Zusatz: Ist a irgendein Element aus 502, so durchläuft t a alle
Elemente der Klasse nach äx, der a angehört, wenn f alle Elemente aus
äx durchläuft; wir können diese Klasse also auch ä’x a nennen.
Dies folgt ohne weiteres aus der Definition der Klasseneinteilung.
Satz 2 : Ist ä'x eine Untergruppe von ä, N (äx < ä) der Normali-
sator von äx in ä und || 502 / ä'x || das System der Klassen von 502 nach
äx, so ist || 502 / ä’x || eine Mischgruppe, und zwar ist —
wenn man die Komposition der Klassen durch Komposition der
Elemente definiert ■—
der Kern von || 502 / ä'x || das System der in N (äx < ä) enthaltenen
Klassen nach äx.2)
Seien äx ax und ä\ a2 irgendzwei Klassen von 502 nach äx. Um
(ä'i ax) (ä2 a2) bilden zu können, muß aber äx ax in ä enthalten sein.
Es soll aber überdies dies Produkt zweier Klassen gleich einer eindeutig
bestimmten Klasse: äx aX2 sein. Da äx Oj (i = 1, 2) u.a. auch ax ent-
halten muß, so muß äx a12 u.a. auch a1a2 enthalten; es muß also:
(äx ax) (äx a2) = äx ax a2 sein. Da äx äx = äx ist, so muß also ax
mit äx vertauschbar sein, d. h. ax muß N (äx < ä) angehören. Dies ist
aber für die Möglichkeit der Komposition auch hinreichend. Es gilt also
der
Zusatz: Ist äx u eine Klasse aus N (äx < ä) und äx a eine be-
liebige Klasse, so ist:
(äx n) (äx a) = äxna.2)
!) cf. L. § 3 p. 246/247.
2) cf. L. § 3 Satz p. 247.