Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Zur Einordnung der Theorie der Mischgruppen in die Gruppentheorie. 9
U = f Cl2
erfüllen, wo t notwendig Element von St ist, auch die Bilder n/
a/ = f a2'
erfüllen.1}
Satz I I Eine ähnliche Abbildung von 9)1 auf sich ist dann und nur
dann die Identität, wenn bei ihr in jeder Klasse von 0)1 nach St’ je ein Ele-
ment in sich übergeht.
Gehe bei der Abbildung etwa das Element n in sich über; dann müssen
auch alle Elemente ta für alle f aus St in sich übergehen; d. h. es gilt
der folgende Zusatz 1, aus dem unser Satz 1 ohne weiteres folgt:
Zusatz I: Geht bei einer ähnlichen Abbildung von 9)1 auf sich ein
Element einer Klasse nach St in sich über, so tun dies alle Elemente dieser
Klasse.
Zusatz 2: Sind ax und a2 zwei ähnliche Abbildungen von 9)1 auf sich,
so ist dann und nur dann ax = a2, wenn es in jeder Klasse von 9)1 nach
St ein Element gibt, das durch beide Abbildungen in das gleiche Element
über geführt wird.
Denn dann muß nach Satz 1 die Abbildung ax a2_1 die Identität sein,
wenn man noch bedenkt, daß die Gesamtheit der ähnlichen Abbildungen
von 9)1 auf sich eine Gruppe bildet.
Zusatz 3: Wir erhalten die allgemeinste ähnliche Abbildung von 9)1
auf sich durch die beiden Angaben:
1. eine willkürliche eineindeutige Abbildung des Systems der Klassen
von 9)1 nach Ä’ auf sich,
2. willkürliche Festsetzung des Bildelements eines willkürlichen Ele-
ments einer Klasse nach ® in der nach 1. bestimmten Bildklasse.
Oder kürzer:
eineindeutige Abbildung eines vollständigen Repräsentantensystems der
Klassen von 9)1 nach St auf irgendein anderes.
Sei nämlich solch ein vollständiges Repräsentantensystem,
{a/} ein derartiges Bildsystem: wir erhalten die ähnliche Abbildung
durch die Festsetzung: f av habe für alle f aus St als Bild t av'.
Sei jetzt M die Gruppe aller ähnlichen Abbildungen von 9)1 auf sich,
E die Untergruppe von M, bei der die Identität und wegen Zusatz 1 also
1) Die ähnliche Abbildung zweier verschiedenen Mischgruppen 9J1 und 9)1'
mit den Kernen und ist so zu definieren: zu der ähnlichen Abbildung von 9)1
auf 9)1' gehört ein Isomorphismus von St und St', bei dem f aus St das Element f* aus
St' zugeordnet wird; dann folgt aus ux = f u3 auch af — f* af, wenn ai' Bild von
Ui (i = 1, 2) ist.