Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Reinhold Baer :

aus U übergeführt wird, eine Untermischgruppe von W mit dem Kern
ft Ml.1)2)
Durch KM Ü wird die Identität von M in die sämtlichen Elemente
von ft II übergeführt. Führe also die Abbildung k aus K ~ U die Identität
in das Element I aus ft U über, die Abbildung a aus U die Identität
in n aus II; dann führt a das Element f in f a über, ka also die Identität
in f a; k_1 führt sie in f“1 über, womit die Bedingung a der Definition 1
des § 1 verifiziert ist.
Führe a> aus U die Identität aus II in Qj aus II (i = 1, 2) über und sei
dx = I a2, wo t Element aus ft ist; dann führt ax a2_1 die Identität in
f über; f ist also Element von II, womit auch die Bedingung b verifiziert ist.
Definition 2: U liefert eine konforme Darstellung von 11 — ist zu
ll konform — wenn || IMME || isomorph zu II »sh3 4)
Satz 5 I Dann und nur dann ist U zu U konform, wenn es keine
von ft Ml verschiedene Klasse von || II / (ft’ 11) || gibt, die bei allen Ab-
bildungen aus IW E invariant bleibt.^
Wir beweisen zunächst:
(F) Dann und nur dann ist U zu 11 konform, wenn
N[(IWE) < U] = EMU ist.
Die Notwendigkeit von (F) folgt aus Satz 4, da ft 11 gerade durch
K U dargestellt wird. Im übrigen verläuft der Beweis von (F) analog
wie der von Satz 3.
Aus (F) folgt aber leicht unser Satz:
sei nämlich (ft^ll)a 4 ft Ml eine Klasse aus II, die bei allen Abbildun-
gen aus E^U invariant bleibt; dann gibt es eine Abbildung a in U,
aber nicht iriKMJ, die die Identität von 11 in a überführt. Da bei allen
Abbildungen e aus E U auch ct invariant bleibt, läßt a e a_1 die
Identität in Buhe, gehört also zu IM ü, d. h. a müßte zu N [(U E) < U]
gehören, was unmöglich ist.
Gibt es umgekehrt keine Klasse (ftMl)a 4 ft Ml aus II, die bei
allen Abbildungen aus IW E invariant bleibt, so sei a ein Element aus
r) Aus diesem Satz wird ersichtlich, warum wir bei der Definition der Unter-
mischgruppe (Definition 1 des § 1) die Zusatzbedingung b machen mußten; denn
sonst gäbe es Untermischgruppen von die durch keine Untergruppen von M
geliefert würden.
2) Bei U geht II in sich über. Ist nämlich u ein Element ausU, so führt es die
Identität von II in das Element u aus 11 über und umgekehrt gibt es zu jedem Element
u aus ll eine solche Abbildung u aus U gemäß der Definition von 11. — Sei jetzt a
ein Element aus U, das das Element u aus II in ein Element a überführt; dann
führt u a die Identität in u über; da u a aus U ist, muß also auch u aus II sein.
3) Hierbei ist natürlich jeder Klasse von U nach Ur'E das durch sie
repräsentierte Element von ll zuzuordnen.
4) Wenn II = ll ft ist, ist alles trivial, cf. p. 10, Anm. 1).