Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Reinhold Baer;

(3) Ist a Element aus N (B < A), so gehen bei der durch a induzierten
Abbildung von W auf sich Elemente von Ä' in Elemente von über.
Wegen der Isomorphie von SOI und || A/B || gehören die ® zu-
geordneten Klassen von || A / B || zu N (B < A); die Abbildung:
Bv^ABv a führt aber Klassen aus N (B < A) wieder in solche über,
da a Element aus N (B < A) ist.
(4) Ist a Element aus B, so geht bei der durch a induzierten Abbildung
von SOI auf sich die Identität von SJi — und wegen Satz 1 also fedes Element
von *4 •— in sich über.
Denn dann ist B a = B.
(5) Dann und nur dann induziert a die identische Abbildung von
SOI auf sich, wenn a dem größten in B enthaltenen Normalteiler von N an-
gehört.
Ist a gemäß (5) ausgewählt, so ist für alle x aus A auch x a x_1
Element von B; es ist dann:
B ar a = [B (a„ a a„-1)] av = B ar.
Ist umgekehrt Bara = Bal( für alle av, so ist
B av a av_1 av = B av, d. h. B av a ar_1 = B
oder für alle av ist a„ a ar_1 Element von B.
Zusatz : Ist N der größte in B enthaltene Normalteiler von A, so
ist A /N isomorph zu M* und B/N isomorph zu M* E.
Satz 7:1. Ist II eine Untermischgruppe von SOI, so ist die Untergruppe
U aller und nur der Elemente aus M, die 11 in sich über führ en, Lomomorph
der Gruppe LT aller ähnlichen Abbildungen von U auf sich.
2. Hierbei sind der Identität von U die II invariant lassenden Ab-
bildungen aus U zugeordnet; sie bilden einen Normalteiler N von U.
3. Ist E die Untergruppe von U, die die Identität von U invariant
läßt, so ist E der Gruppe E U zugeordnet.
4. Die den Kern .St 11 von 11 in sich überführende Untergruppe K
von U ist der Gruppe K U zugeordnet.
Dieser Satz stellt eine Art Umkehrung des Satz 4 dar.
A. Zunächst induziert jede Abbildung aus U eine ähnliche Abbildung
von 11. da U ja eine Untergruppe von M ist.
B. Ist umgekehrt ä eine ähnliche Abbildung von 11 auf sich, so haben
wir ä auf wenigstens eine Weise zu einer ä umfassenden ähnlichen Ab-
bildung a von W auf sich zu erweitern.
Wegen Satz 3 des § 1 hat II mit einer Klasse nach <4 höchstens eine
Klasse nach UH gemein; seien dies die Klassen: II) ar.